Questão 03. (1,0 ponto). A equação de Rayleigh para destilação em batelada é dada por:
: quantidade inicial de líquido
: quantidade de líquido remanescente
: composição inicial no líquido
: composição final no líquido
: composição do vapor em equilíbrio
Explique por que é necessário utilizar uma integral nessa equação.
Explique por que é necessário utilizar uma integral nessa equação.
Passo 1
O enunciado pede que se explique por que é necessário usar uma integral na equação de Rayleigh
As informações dadas (vou escrever cada símbolo em notação clara):
-
: quantidade inicial de líquido no bulbo (estado inicial). -
: quantidade de líquido remanescente no bulbo (estado final). -
: fração molar do soluto no líquido (variável de estado do líquido). -
: composição inicial do líquido (valor de quando o bulbo tinha ). -
: composição final do líquido (valor de quando o bulbo tem ). -
: fração molar do soluto no vapor em equilíbrio com o líquido de composição ; em geral depende de , isto é, .
O que se pede: justificar, de maneira física e matemática, por que nessa relação aparece uma integral (em vez de uma soma simples ou uma expressão algébrica sem integração).
Passo 2
Derivação diferencial (passo a passo físico-matemático) — mostro de onde sai a equação diferencial que leva à integral.
-
Considere um instante qualquer durante a destilação por batelada. No bulbo há
(número de mols, ou massa normalizada) de líquido com composição . Em um pequeno intervalo de tempo sai uma pequena quantidade de destilado (mols removidos como líquido condensado), e consequentemente o conteúdo do bulbo diminui de para com . -
Balanço do componente (soluto) no bulbo: a quantidade total do componente no bulbo é
. Quando sai o destilado , sai com a composição do vapor correspondente ao equilíbrio, ou seja, sai uma quantidade de soluto igual a . Assim, a variação do conteúdo do componente no bulbo é
- Substituindo
obtemos
- Expandindo o lado esquerdo por produto:
- Reorganizando para isolar
:
- Dividindo ambos os lados por
(supondo nas etapas relevantes):
Essa é a forma diferencial central: ela relaciona a variação relativa da quantidade de líquido (
) com a variação infinitesimal da composição do líquido (
), através da diferença
que traduz a eficiência com que o vapor remove o soluto.
Passo 3
Por que integrar? — interpretação matemática da diferencial.
A equação do passo anterior é uma igualdade entre diferenciais:
Ela é válida em cada instante pequeno do processo. Mas o processo inteiro vai de um estado inicial
até um estado final
. Para obter a relação entre os valores finitos
e
(e entre
e
) precisamos “somar” todas essas contribuições diferenciais ao longo do caminho. Essa soma contínua de infinitésimos é exatamente uma integral. Portanto integramos os dois lados entre os limites apropriados:
que dá
Observe: a integral do lado direito não é trivial porque
geralmente depende de
segundo a curva de equilíbrio (
). Se
fosse constante independentemente de
, a integral poderia ser feita facilmente puxando
para fora; mas na prática
muda com
, portanto cada incremento
contribui de forma diferente e a soma contínua exige integrar a função
.
Passo 4
Intuição por discretização (como pensar na prova sem medo)
Imagine dividir o processo em
etapas pequenas e finitas: em cada etapa
o bulbo vai de
para
e a composição do líquido de
para
. Para cada etapa vale aproximadamente
Somando todas as etapas:
No limite
, as etapas ficam infinitesimais, as somas convergem para as integrais:
Esse argumento discretizado mostra fisicamente por que se faz uma soma acumulada das mudanças infinitesimais — e por que a forma natural é uma integral.
Passo 5
Por que aparece o log (
) no lado esquerdo?
A integral do lado esquerdo é
. Essa integral dá
. O log aparece porque a variação de
entra multiplicativamente: cada pequena retirada reduz o total por um fator próximo de
, e a composição total de fatores multiplicativos vira soma de logs quando se soma/integrar. Em termos físicos, o log mede a mudança relativa (proporcional) no total de líquido ao longo do processo.
Passo 6
Exemplo simples para fixar a ideia
Se, por hipótese artificial,
fosse constante igual a
, então a integral do lado direito seria
, e a relação ficaria
uma expressão algébrica simples. No mundo real
depende de
(curva de equilíbrio), logo
não é constante e não se pode simplificar sem integrar — por isso a integral é necessária.
Resposta
Porque a relação fundamental entre pequenas variações do estoque de líquido e da composição é uma igualdade diferencial
, e para relacionar valores finitos iniciais e finais (
e
) é preciso somar/integrar todas essas contribuições infinitesimais. Além disso, como
normalmente depende de
(equilíbrio vapor–líquido), a contribuição de cada
é diferente ao longo do processo, de modo que apenas a integral
dá a conta correta.