Questão 03. (1,0 ponto). A equação de Rayleigh para destilação em batelada é dada por:
\ln \left(\frac{B}{F}\right)=\int_{x_{F}}^{x_{B}} \frac{d x}{y-x}
F : quantidade inicial de líquido
B : quantidade de líquido remanescente
x_{F} : composição inicial no líquido
x_{B} : composição final no líquido
y : composição do vapor em equilíbrio \operatorname{com} x
Explique por que é necessário utilizar uma integral nessa equação.

Passo 1

O enunciado pede que se explique por que é necessário usar uma integral na equação de Rayleigh
\ln\!\left(\frac{B}{F}\right)=\int_{x_{F}}^{x_{B}} \frac{d x}{y-x}.
As informações dadas (vou escrever cada símbolo em notação clara):
  • F: quantidade inicial de líquido no bulbo (estado inicial).
  • B: quantidade de líquido remanescente no bulbo (estado final).
  • x: fração molar do soluto no líquido (variável de estado do líquido).
  • x_F: composição inicial do líquido (valor de x quando o bulbo tinha F).
  • x_B: composição final do líquido (valor de x quando o bulbo tem B).
  • y: fração molar do soluto no vapor em equilíbrio com o líquido de composição x; em geral y depende de x, isto é, y=y(x).
O que se pede: justificar, de maneira física e matemática, por que nessa relação aparece uma integral (em vez de uma soma simples ou uma expressão algébrica sem integração).

Passo 2

Derivação diferencial (passo a passo físico-matemático) — mostro de onde sai a equação diferencial que leva à integral.
  1. Considere um instante qualquer durante a destilação por batelada. No bulbo há B (número de mols, ou massa normalizada) de líquido com composição x. Em um pequeno intervalo de tempo sai uma pequena quantidade de destilado dD (mols removidos como líquido condensado), e consequentemente o conteúdo do bulbo diminui de B para B+dB com dB=-dD.
  2. Balanço do componente (soluto) no bulbo: a quantidade total do componente no bulbo é B\,x. Quando sai o destilado dD, sai com a composição do vapor correspondente ao equilíbrio, ou seja, sai uma quantidade de soluto igual a y\,dD. Assim, a variação do conteúdo do componente no bulbo é
d(Bx) = -y\,dD.
  1. Substituindo dD=-dB obtemos
d(Bx) = y\,dB.
  1. Expandindo o lado esquerdo por produto:
B\,dx + x\,dB = y\,dB.
  1. Reorganizando para isolar dx:
B\,dx = (y - x)\,dB.
  1. Dividindo ambos os lados por B(y-x) (supondo y\neq x nas etapas relevantes):
\frac{dB}{B} = \frac{dx}{y-x}.
Essa é a forma diferencial central: ela relaciona a variação relativa da quantidade de líquido ( dB/B) com a variação infinitesimal da composição do líquido ( dx), através da diferença y-x que traduz a eficiência com que o vapor remove o soluto.

Passo 3

Por que integrar? — interpretação matemática da diferencial.
A equação do passo anterior é uma igualdade entre diferenciais:
\frac{dB}{B} = \frac{dx}{y-x}.
Ela é válida em cada instante pequeno do processo. Mas o processo inteiro vai de um estado inicial (B=F,\; x=x_F) até um estado final (B,\; x=x_B). Para obter a relação entre os valores finitos F e B (e entre x_F e x_B) precisamos “somar” todas essas contribuições diferenciais ao longo do caminho. Essa soma contínua de infinitésimos é exatamente uma integral. Portanto integramos os dois lados entre os limites apropriados:
\int_{F}^{B}\frac{dB}{B} = \int_{x_F}^{x_B}\frac{dx}{y-x},
que dá
\ln\!\left(\frac{B}{F}\right)=\int_{x_{F}}^{x_{B}} \frac{d x}{y-x}.
Observe: a integral do lado direito não é trivial porque y geralmente depende de x segundo a curva de equilíbrio ( y=y(x)). Se y fosse constante independentemente de x, a integral poderia ser feita facilmente puxando y para fora; mas na prática y muda com x, portanto cada incremento dx contribui de forma diferente e a soma contínua exige integrar a função \dfrac{1}{y(x)-x}.

Passo 4

Intuição por discretização (como pensar na prova sem medo)
Imagine dividir o processo em n etapas pequenas e finitas: em cada etapa \Delta i o bulbo vai de B_i para B_{i+1} e a composição do líquido de x_i para x_{i+1}. Para cada etapa vale aproximadamente
\frac{\Delta B_i}{B_i} \approx \frac{\Delta x_i}{y(x_i)-x_i}.
Somando todas as etapas:
\sum_{i=1}^{n} \frac{\Delta B_i}{B_i} \approx \sum_{i=1}^{n}\frac{\Delta x_i}{y(x_i)-x_i}.
No limite n\to\infty, as etapas ficam infinitesimais, as somas convergem para as integrais:
\int_{F}^{B}\frac{dB}{B} = \int_{x_F}^{x_B}\frac{dx}{y(x)-x}.
Esse argumento discretizado mostra fisicamente por que se faz uma soma acumulada das mudanças infinitesimais — e por que a forma natural é uma integral.

Passo 5

Por que aparece o log ( \ln) no lado esquerdo?
A integral do lado esquerdo é \displaystyle\int_{F}^{B}\frac{dB}{B}. Essa integral dá \ln(B) - \ln(F)=\ln\!\bigl(\tfrac{B}{F}\bigr). O log aparece porque a variação de B entra multiplicativamente: cada pequena retirada reduz o total por um fator próximo de 1+\frac{dB}{B}, e a composição total de fatores multiplicativos vira soma de logs quando se soma/integrar. Em termos físicos, o log mede a mudança relativa (proporcional) no total de líquido ao longo do processo.

Passo 6

Exemplo simples para fixar a ideia
Se, por hipótese artificial, y-x fosse constante igual a c, então a integral do lado direito seria \int_{x_F}^{x_B}\frac{dx}{c}=\dfrac{x_B-x_F}{c}, e a relação ficaria
\ln\!\left(\frac{B}{F}\right)=\frac{x_B-x_F}{c},
uma expressão algébrica simples. No mundo real y depende de x (curva de equilíbrio), logo y-x não é constante e não se pode simplificar sem integrar — por isso a integral é necessária.

Resposta

Porque a relação fundamental entre pequenas variações do estoque de líquido e da composição é uma igualdade diferencial \dfrac{dB}{B}=\dfrac{dx}{y(x)-x}, e para relacionar valores finitos iniciais e finais ( F\to B e x_F\to x_B) é preciso somar/integrar todas essas contribuições infinitesimais. Além disso, como y normalmente depende de x (equilíbrio vapor–líquido), a contribuição de cada \,dx é diferente ao longo do processo, de modo que apenas a integral \displaystyle\int_{x_F}^{x_B}\frac{dx}{y(x)-x} dá a conta correta.

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