Questão 01. (1,5 pontos cada questão) Calcule a derivada de \boldsymbol{f}(\boldsymbol{x}) e a integral abaixo:
\int\left(\frac{2}{x}+3 e^{x}\right) d x

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: calcular a derivada de f(x) e calcular a integral
\int\left(\frac{2}{x}+3 e^{x}\right) dx.
O enunciado não dá outra função f explícita, então vou considerar que a função cuja derivada devemos calcular é exatamente o integrando:
f(x)=\frac{2}{x}+3e^{x}.
Portanto as duas tarefas são: (A) encontrar f'(x) para f(x)=\dfrac{2}{x}+3e^{x} e (B) calcular \displaystyle\int\!\left(\dfrac{2}{x}+3e^{x}\right)dx.

Passo 2

Vamos lembrar as regras que vamos usar (explicadas devagar, como combinamos):
Regra 1 — linearidade da derivada: a derivada da soma é a soma das derivadas, e constantes saem multiplicando:
\frac{d}{dx}\big(a\cdot g(x)+b\cdot h(x)\big)=a\cdot g'(x)+b\cdot h'(x),
onde a,b são constantes.
Regra 2 — derivada da potência: para g(x)=x^{n} com n real,
\frac{d}{dx}x^{n}=n x^{n-1}.
Em particular, \dfrac{d}{dx}x^{-1}=-1\cdot x^{-2}=-\dfrac{1}{x^{2}}.
Regra 3 — derivada do exponencial: para g(x)=e^{x},
\frac{d}{dx}e^{x}=e^{x}.
Regra 4 — linearidade da integral: a integral de soma é soma das integrais, e constantes podem ser puxadas para fora:
\int\big(a\cdot g(x)+b\cdot h(x)\big)dx=a\int g(x)dx+b\int h(x)dx.
Regra 5 — integral de 1/x: para x\neq0,
\int \frac{1}{x}dx=\ln|x|+C,
onde C é a constante de integração.
Regra 6 — integral do exponencial: \displaystyle\int e^{x}dx=e^{x}+C.
Agora que temos as regras, aplicamos passo a passo ao nosso f e à integral.

Passo 3

Calcular f'(x) aplicando linearidade e as regras acima.
Escrevemos f(x) como potências para usar a regra da potência:
f(x)=\frac{2}{x}+3e^{x}=2\cdot x^{-1}+3e^{x}.
Aplicando a linearidade da derivada e a regra da potência:
f'(x)=2\cdot\frac{d}{dx}\big(x^{-1}\big)+3\cdot\frac{d}{dx}\big(e^{x}\big).
Agora cada derivada:
\frac{d}{dx}x^{-1}=-1\cdot x^{-2}=-\frac{1}{x^{2}},
\frac{d}{dx}e^{x}=e^{x}.
Substituindo:
f'(x)=2\cdot\left(-\frac{1}{x^{2}}\right)+3\cdot e^{x}=-\frac{2}{x^{2}}+3e^{x}.
Explicação rápida e intuitiva: transformar 2/x em 2x^{-1} facilita — a potência cai e diminui o expoente em 1, daí o sinal negativo aparece. O termo exponencial simplesmente volta a si.

Passo 4

Agora calculamos a integral
\int\left(\frac{2}{x}+3 e^{x}\right) dx.
Usamos a linearidade das integrais (Regra 4) para separar os termos:
\int\frac{2}{x}dx+\int 3e^{x}dx.
Puxamos constantes para fora:
2\int\frac{1}{x}dx+3\int e^{x}dx.
Agora aplicamos as regras 5 e 6:
\int\frac{1}{x}dx=\ln|x|+C_1,\qquad \int e^{x}dx=e^{x}+C_2.
Portanto
2\int\frac{1}{x}dx=2\ln|x|+2C_1,\qquad 3\int e^{x}dx=3e^{x}+3C_2.
Somando e reunindo as constantes (qualquer soma de constantes é outra constante C):
\int\left(\frac{2}{x}+3 e^{x}\right) dx=2\ln|x|+3e^{x}+C.

Passo 5

Verificação rápida (faça isto sempre na prova se tiver tempo): derivando o resultado da integral deve voltar o integrando.
Derivando 2\ln|x|+3e^{x}+C:
\frac{d}{dx}\big(2\ln|x|+3e^{x}+C\big)=2\cdot\frac{1}{x}+3e^{x}+0=\frac{2}{x}+3e^{x},
o que bate com o integrando. Beleza — está consistente.

Resposta

f'(x)=-\dfrac{2}{x^{2}}+3e^{x}\n \displaystyle \int\left(\frac{2}{x}+3 e^{x}\right) dx=2\ln|x|+3e^{x}+C

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