Questão 01. (1,5 pontos cada questão) Calcule a derivada de
e a integral abaixo:
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: calcular a derivada de
e calcular a integral
O enunciado não dá outra função
explícita, então vou considerar que a função cuja derivada devemos calcular é exatamente o integrando:
Portanto as duas tarefas são: (A) encontrar
para
e (B) calcular
.
Passo 2
Vamos lembrar as regras que vamos usar (explicadas devagar, como combinamos):
Regra 1 — linearidade da derivada: a derivada da soma é a soma das derivadas, e constantes saem multiplicando:
onde
são constantes.
Regra 2 — derivada da potência: para
com
real,
Em particular,
.
Regra 3 — derivada do exponencial: para
,
Regra 4 — linearidade da integral: a integral de soma é soma das integrais, e constantes podem ser puxadas para fora:
Regra 5 — integral de
: para
,
onde
é a constante de integração.
Regra 6 — integral do exponencial:
.
Agora que temos as regras, aplicamos passo a passo ao nosso
e à integral.
Passo 3
Calcular
aplicando linearidade e as regras acima.
Escrevemos
como potências para usar a regra da potência:
Aplicando a linearidade da derivada e a regra da potência:
Agora cada derivada:
Substituindo:
Explicação rápida e intuitiva: transformar
em
facilita — a potência cai e diminui o expoente em 1, daí o sinal negativo aparece. O termo exponencial simplesmente volta a si.
Passo 4
Agora calculamos a integral
Usamos a linearidade das integrais (Regra 4) para separar os termos:
Puxamos constantes para fora:
Agora aplicamos as regras 5 e 6:
Portanto
Somando e reunindo as constantes (qualquer soma de constantes é outra constante
):
Passo 5
Verificação rápida (faça isto sempre na prova se tiver tempo): derivando o resultado da integral deve voltar o integrando.
Derivando
:
o que bate com o integrando. Beleza — está consistente.