Questão Extra. (2,0 pontos) Determine:
(a) uma transformação linear bijetora T: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3} tal que T(1,1,2)=(0,1,1) e T(1,0,1)= (-1,0,0). Caso tal transformação não exista, justifique por quê;

Passo 1

O que o enunciado pede: encontrar uma transformação linear bijetora T:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3 tal que
T(1,1,2)=(0,1,1)
e
T(1,0,1)=(-1,0,0).
Informações dadas relevantes:
v_1=(1,1,2),\qquad v_2=(1,0,1),
w_1=(0,1,1),\qquad w_2=(-1,0,0).
Precisamos decidir se existe uma transformação linear que satisfaça essas imagens e, se existir, apresentar uma transformação bijetora (invertível) que as satisfaça.

Passo 2

Vamos representar T por uma matriz A\in\mathbb{R}^{3\times3} na base canônica. Denote as colunas de A os vetores
a_1,\,a_2,\,a_3\in\mathbb{R}^3,
ou seja
A=[\,a_1\;a_2\;a_3\,],
e para todo vetor (x,y,z) temos T(x,y,z)=A\begin{pmatrix}x\y\z\end{pmatrix}. As condições do enunciado viram equações lineares em a_1,a_2,a_3. Escrevendo
T(1,1,2)=a_1+a_2+2a_3=w_1,
T(1,0,1)=a_1+a_3=w_2.
São duas equações vetoriais (cada uma representa 3 equações escalares) em relação às três colunas a_1,a_2,a_3.

Passo 3

Da segunda equação temos
a_1 = w_2 - a_3.
Substituindo na primeira:
(w_2-a_3)+a_2+2a_3 = w_1 \quad\Rightarrow\quad a_2 + a_3 = w_1 - w_2.
Logo
a_2 = w_1-w_2 - a_3.
Portanto a_1 e a_2 ficam expressos em função de a_3. Isso significa que podemos escolher livremente a_3 e obter a_1,a_2 pelas fórmulas acima. Para que A defina uma transformação bijetora (isto é, invertível), precisamos que as colunas a_1,a_2,a_3 sejam linearmente independentes (equivalente a \det A\neq0). Então escolhemos um a_3 que torne as três colunas independentes.

Passo 4

Escolho uma escolha simples para a_3:
a_3=(0,0,1).
Agora calcule a_1 e a_2 usando w_1=(0,1,1) e w_2=(-1,0,0).
Calcule w_1-w_2:
w_1-w_2 = (0,1,1)-(-1,0,0) = (1,1,1).
Então
a_2 = (1,1,1) - a_3 = (1,1,1)-(0,0,1) = (1,1,0),
a_1 = w_2 - a_3 = (-1,0,0)-(0,0,1) = (-1,0,-1).
Portanto a matriz A ficou com colunas a_1,a_2,a_3:
A = \begin{pmatrix} -1 & 1 & 0\\[4pt] 0 & 1 & 0\\[4pt] -1 & 0 & 1 \end{pmatrix}.]

Passo 5

Verifico que A é invertível calculando seu determinante (ou observando linear independência das colunas). Calculemos o determinante:
\det A = \begin{vmatrix} -1 & 1 & 0\\\\ 0 & 1 & 0\\\\ -1 & 0 & 1 \end{vmatrix} = -1\cdot(1\cdot1-0\cdot0) - 1\cdot(0\cdot1-(-1)\cdot0) + 0\cdot(\cdots) = -1.
Como \det A=-1\neq0, A é invertível e assim T(x)=Ax é bijetora.

Passo 6

Só para confirmar que as condições do enunciado realmente se cumprem, calculo diretamente:
A\begin{pmatrix}1\\\ 1\\\ 2\end{pmatrix} = a_1+a_2+2a_3 = (-1,0,-1)+(1,1,0)+2(0,0,1)
= (0,1,1)=w_1,
e
A\begin{pmatrix}1\\\ 0\\\ 1\end{pmatrix} = a_1+a_3 = (-1,0,-1)+(0,0,1) = (-1,0,0)=w_2.
As duas igualdades conferem com o enunciado.

Resposta

T:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3,\qquad T\begin{pmatrix}x\y\z\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 & 1 & 0\\[4pt] 0 & 1 & 0\\[4pt] -1 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}x\y\z\end{pmatrix}.]

Exercícios relacionados