Questão Extra. (2,0 pontos) Determine:
(a) uma transformação linear bijetora T: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3} tal que T(1,1,2)=(0,1,1) e T(1,0,1)= (-1,0,0). Caso tal transformação não exista, justifique por quê;
Passo 1
O que o enunciado pede: encontrar uma transformação linear bijetora T:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3 tal que
T(1,1,2)=(0,1,1)
e
T(1,0,1)=(-1,0,0).
Informações dadas relevantes:
v_1=(1,1,2),\qquad v_2=(1,0,1),
w_1=(0,1,1),\qquad w_2=(-1,0,0).
Precisamos decidir se existe uma transformação linear que satisfaça essas imagens e, se existir, apresentar uma transformação bijetora (invertível) que as satisfaça.
Passo 2
Vamos representar T por uma matriz A\in\mathbb{R}^{3\times3} na base canônica. Denote as colunas de A os vetores
a_1,\,a_2,\,a_3\in\mathbb{R}^3,
ou seja
A=[\,a_1\;a_2\;a_3\,],
e para todo vetor (x,y,z) temos T(x,y,z)=A\begin{pmatrix}x\y\z\end{pmatrix}. As condições do enunciado viram equações lineares em a_1,a_2,a_3. Escrevendo
T(1,1,2)=a_1+a_2+2a_3=w_1,
T(1,0,1)=a_1+a_3=w_2.
São duas equações vetoriais (cada uma representa 3 equações escalares) em relação às três colunas a_1,a_2,a_3.
Portanto a_1 e a_2 ficam expressos em função de a_3. Isso significa que podemos escolher livremente a_3 e obter a_1,a_2 pelas fórmulas acima. Para que A defina uma transformação bijetora (isto é, invertível), precisamos que as colunas a_1,a_2,a_3 sejam linearmente independentes (equivalente a \det A\neq0). Então escolhemos um a_3 que torne as três colunas independentes.
Passo 4
Escolho uma escolha simples para a_3:
a_3=(0,0,1).
Agora calcule a_1 e a_2 usando w_1=(0,1,1) e w_2=(-1,0,0).
Calcule w_1-w_2:
w_1-w_2 = (0,1,1)-(-1,0,0) = (1,1,1).
Então
a_2 = (1,1,1) - a_3 = (1,1,1)-(0,0,1) = (1,1,0),
a_1 = w_2 - a_3 = (-1,0,0)-(0,0,1) = (-1,0,-1).
Portanto a matriz A ficou com colunas a_1,a_2,a_3: