(Questão 02 ) [ 2,0 pontos] Faça a identificação entre as quádricas e suas equações, preenchendo com a letra correspondente a lacuna à esquerda de cada quádrica.
a) \sqrt{17} x^{2}+5 y^{2}+4 z^{2}=\frac{8}{3}
b) x^{2}-\sqrt{3} y+8 z^{2}=0
c) -x^{2}-y+z^{2}=0
d) y^{2}+3 z^{2}=-8+x^{2}
( )Sela
( )Parabolóide Elíptico
( )Hiperbolóide de 2 folhas
( )Elipsóide

Passo 1

O enunciado pede para associar cada equação quadrática
a um tipo de quádricas: sela (hiperbolóide geral do tipo parabólico), parabolóide elíptico, hiperbolóide de duas folhas e elipsóide.
Para isso vamos inspecionar os coeficientes dos termos quadráticos e a presença de termo linear para reconhecer a forma canônica de cada superfície.

Passo 2

A equação
\sqrt{17}\,x^{2}+5\,y^{2}+4\,z^{2}=\tfrac{8}{3}
tem três termos quadráticos todos com coeficientes positivos e igualados a uma constante.
Esse é o caso clássico de um elipsóide, pois em coordenadas canônicas seria
\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}}=1.

Passo 3

A equação
x^{2}-\sqrt{3}\,y+8\,z^{2}=0
pode ser reescrita como
y = \frac{1}{\sqrt{3}}\bigl(x^{2}+8\,z^{2}\bigr).
Há dois termos quadráticos e um termo linear em y; isso caracteriza um parabolóide elíptico, cuja forma canônica é
y = \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{z^{2}}{c^{2}}.

Passo 4

A equação
-x^{2}-y+z^{2}=0
pode ser rearranjada em
y = z^{2}-x^{2}.
Aqui aparece a diferença de dois quadrados e um termo linear, o que gera uma superfície em sela, conhecida como hiperbolóide parabólico (sela).

Passo 5

A equação
y^{2}+3\,z^{2}=-8 + x^{2}
é equivalente a
x^{2}-y^{2}-3\,z^{2}=8.
Temos um termo quadrático com sinal positivo e dois com sinal negativo, igualado a uma constante positiva.
Isso é a forma típica de um hiperbolóide de duas folhas, que em forma canônica escreve-se
\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} - \frac{z^{2}}{c^{2}} = 1.

Resposta

Sela: c
Parabolóide Elíptico: b
Hiperbolóide de 2 folhas: d
Elipsóide: a

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