Questão 02. ( 2,5 pontos) Resolva a equação diferencial de primeira ordem
\left(\frac{y}{x}+6 x\right)+(\ln x-2) y^{\prime}=0, \quad x>0
Fazendo a identificação M(x, y)=\frac{y}{x}+6 x e N(x, y)=\ln x-2, vemos que a EDO é exata:
\frac{\partial M}{\partial y}=\frac{1}{x}=\frac{\partial M}{\partial y}
Sendo assim, existe uma função \psi(x, y), tal que: \frac{\partial \psi}{\partial x}=\frac{y}{x}+6 x (1) e \quad \frac{\partial \psi}{\partial y}=\ln x-2
Integrando (2) em relação a y, obtemos: \psi(x, y)=y \ln x-2 y+f(x)
Derivando em relação a x e igualando a (1), obtemos f(x)=3 x^{2}
Portanto, a solução da EDO será y \ln x+3 x^{2}-2 y=C Onde C é uma constante.

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial de primeira ordem
\left(\frac{y}{x}+6x\right)+(\ln x-2)\,y'=0,\qquad x>0,
e sugere a identificação
M(x,y)=\frac{y}{x}+6x,\qquad N(x,y)=\ln x-2.
O que se pede é resolver a EDO, isto é, encontrar a solução geral y(x) (ou uma relação implícita entre x e y) válida para x>0. As informações relevantes dadas são:
  • A equação pode ser escrita na forma M(x,y)+N(x,y)\,y'=0.
  • Está indicada a verificação de exatidão da equação usando as derivadas parciais de M e N.

Passo 2

Explicação do conceito de equação exata e verificação aqui (aula rápida): uma equação do tipo
M(x,y)+N(x,y)\,y'=0
é exata em uma região se existe uma função potencial \psi(x,y) tal que
\frac{\partial \psi}{\partial x}=M(x,y),\qquad \frac{\partial \psi}{\partial y}=N(x,y).
Uma condição prática para testar exatidão é comparar \dfrac{\partial M}{\partial y} com \dfrac{\partial N}{\partial x}; se forem iguais na região considerada, a equação é exata.
Agora calculamos as derivadas parciais para este caso:
\frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}\!\left(\frac{y}{x}+6x\right)=\frac{1}{x},
\frac{\partial N}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}\!(\ln x-2)=\frac{1}{x}.
Como \dfrac{\partial M}{\partial y}=\dfrac{\partial N}{\partial x}=\dfrac{1}{x} para x>0, a equação é exata na região x>0.

Passo 3

Método para resolver uma equação exata (mini-aula): encontrar \psi(x,y) tal que \psi_x=M e \psi_y=N. Existem duas maneiras práticas:
  • Integrar \psi_x=M em relação a x e introduzir uma “constante” de integração que pode depender de y;
  • ou integrar \psi_y=N em relação a y e introduzir uma função de integração que pode depender de x.
Escolho integrar \psi_y=N em relação a y porque N(x,y)=\ln x-2 é muito simples (não depende de y), o que torna as contas diretas.

Passo 4

Integração de \psi_y=N em relação a y:
Partimos de
\frac{\partial \psi}{\partial y}=N(x,y)=\ln x-2.
Integrando ambos os lados em relação a y (tratando x como constante ao integrar em y), obtemos
\psi(x,y)=\int (\ln x-2)\,dy = (\ln x-2)\,y + f(x),
onde f(x) é uma função arbitrária de x (surge como “constante” de integração em relação a y). Podemos reescrever
\psi(x,y)=y\ln x-2y+f(x).

Passo 5

Determinar f(x) usando a condição \psi_x=M:
Calculamos a derivada parcial de \psi em relação a x. Lembrete (mini-aula): ao derivar y\ln x em relação a x tratamos y como constante, então \partial_x(y\ln x)=y\cdot(1/x). Também \partial_x(-2y)=0 e \partial_x f(x)=f'(x). Assim
\frac{\partial \psi}{\partial x}=\frac{y}{x}+f'(x).
Pela condição da função potencial, isso deve ser igual a M(x,y), ou seja
\frac{y}{x}+f'(x)=M(x,y)=\frac{y}{x}+6x.
Cancelando \dfrac{y}{x} dos dois lados, sobra
f'(x)=6x.
Integrando em x,
f(x)=\int 6x\,dx=3x^{2}+C_1,
onde C_1 é uma constante real.

Passo 6

Montagem da solução geral e forma final:
Substituindo f(x) em \psi(x,y) obtemos
\psi(x,y)=y\ln x-2y+3x^{2}+C_1.
A solução geral da equação exata é dada implicitamente por \psi(x,y)=\text{constante}. Renomeando a constante C_1 para C (absorvendo-a no lado direito), a solução implícita fica
y\ln x-2y+3x^{2}=C.
Observação útil para a prova: se for conveniente isolar y (quando \ln x-2\neq 0), pode-se escrever explicitamente
y=\frac{C-3x^{2}}{\ln x-2},
lembrando que essa forma explícita não vale quando \ln x-2=0 (isto é, x=e^{2}), onde a solução implícita continua válida.

Passo 7

Verificação (checagem rápida): derivando implicitamente a relação \psi(x,y)=C obtemos
\psi_x+\psi_y\,y'=0\quad\Rightarrow\quad M+N\,y'=0,
o que coincide com a equação original, confirmando que a solução está correta. Também nota-se que a hipótese x>0 é necessária para que \ln x esteja bem definida no contexto real.

Resposta

y\ln x-2y+3x^{2}=C

Exercícios relacionados