Questão 02. ( 2,5 pontos) Resolva a equação diferencial de primeira ordem
Fazendo a identificação
e
, vemos que a EDO é exata:
Sendo assim, existe uma função
, tal que:
(1)
Integrando (2) em relação a y, obtemos:
Derivando em relação a x e igualando a (1), obtemos
Portanto, a solução da EDO será
Onde C é uma constante.
Derivando em relação a x e igualando a (1), obtemos
Portanto, a solução da EDO será
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial de primeira ordem
e sugere a identificação
O que se pede é resolver a EDO, isto é, encontrar a solução geral
(ou uma relação implícita entre
e
) válida para
. As informações relevantes dadas são:
- A equação pode ser escrita na forma
. - Está indicada a verificação de exatidão da equação usando as derivadas parciais de
e .
Passo 2
Explicação do conceito de equação exata e verificação aqui (aula rápida): uma equação do tipo
é exata em uma região se existe uma função potencial
tal que
Uma condição prática para testar exatidão é comparar
com
; se forem iguais na região considerada, a equação é exata.
Agora calculamos as derivadas parciais para este caso:
Como
para
, a equação é exata na região
.
Passo 3
Método para resolver uma equação exata (mini-aula): encontrar
tal que
e
. Existem duas maneiras práticas:
- Integrar
em relação a e introduzir uma “constante” de integração que pode depender de ; - ou integrar
em relação a e introduzir uma função de integração que pode depender de .
Escolho integrar
em relação a
porque
é muito simples (não depende de
), o que torna as contas diretas.
Passo 4
Integração de
em relação a
:
Partimos de
Integrando ambos os lados em relação a
(tratando
como constante ao integrar em
), obtemos
onde
é uma função arbitrária de
(surge como “constante” de integração em relação a
). Podemos reescrever
Passo 5
Determinar
usando a condição
:
Calculamos a derivada parcial de
em relação a
. Lembrete (mini-aula): ao derivar
em relação a
tratamos
como constante, então
. Também
e
. Assim
Pela condição da função potencial, isso deve ser igual a
, ou seja
Cancelando
dos dois lados, sobra
Integrando em
,
onde
é uma constante real.
Passo 6
Montagem da solução geral e forma final:
Substituindo
em
obtemos
A solução geral da equação exata é dada implicitamente por
. Renomeando a constante
para
(absorvendo-a no lado direito), a solução implícita fica
Observação útil para a prova: se for conveniente isolar
(quando
), pode-se escrever explicitamente
lembrando que essa forma explícita não vale quando
(isto é,
), onde a solução implícita continua válida.
Passo 7
Verificação (checagem rápida): derivando implicitamente a relação
obtemos
o que coincide com a equação original, confirmando que a solução está correta. Também nota-se que a hipótese
é necessária para que
esteja bem definida no contexto real.