Um secador de cabelo elétrico de 120 \mathrm{~V}_{\text {RMS }} e 60 Hz consome 600 W com um fator de potência indutivo de 0,92 . ( 2,0 pontos)
a) Calcule a corrente RMS consumida pelo secador.
b) Como você corrigiria o fator de potência para um valor de 0,95 ?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e perguntas:
  • Dados fornecidos: V_{\text{RMS}} = 120\\ \text{V},\qquad f = 60\\ \text{Hz},
P = 600\\ \text{W},\qquad \text{fator de potência (indutivo)}\; \text{pf}_1 = 0{,}92.ê
  • Perguntas:
    a) Calcular a corrente RMS consumida pelo secador.
    b) Corrigir o fator de potência para \text{pf}_2 = 0{,}95: como fazer isso (ou seja, quanto de compensação reativa é necessário e qual capacitância colocar)?

Passo 2

Conceitos e fórmulas essenciais (explicado passo a passo, sem pressa):
  • Potência aparente \,S: é a combinação da potência real e reativa e tem unidade VA. Relação básica:
    S = V_{\text{RMS}} I_{\text{RMS}}.
    Aqui V_{\text{RMS}} é a tensão eficaz (em volts) e I_{\text{RMS}} é a corrente eficaz (em ampères).
  • Potência real \,P: é a potência efetivamente consumida (em watts) e está relacionada com o fator de potência:
    P = S\cos\varphi = V_{\text{RMS}} I_{\text{RMS}} \cos\varphi,
    onde \varphi é o ângulo de defasagem entre tensão e corrente. O fator de potência é \text{pf}=\cos\varphi.
  • Potência reativa \,Q: mede a potência que oscila entre fontes e reatâncias (em VAR). Relação útil:
    Q = S\sin\varphi.
    Usando \tan\varphi = \dfrac{Q}{P}, temos também
    Q = P \tan\varphi.
  • Para capacitores a potência reativa é negativa (fornecem reativo que compensa reativo indutivo). Para corrigir o fator de potência coloca-se um capacitor em paralelo que forneça |Q_C| igual à redução desejada de reativo.

Passo 3

Cálculo da corrente RMS solicitada na parte (a).
Usamos a fórmula direta que vem de P = V I \,\text{pf}:
I_{\text{RMS}} = \frac{P}{V_{\text{RMS}}\;\text{pf}}.
Substituindo os valores:
I_{\text{RMS}} = \frac{600}{120\cdot 0{,}92} = \frac{600}{110{,}4}.
Fazendo a divisão:
I_{\text{RMS}} \approx 5{,}4347826\\ \text{A}.
Arredondando razoavelmente para a prova: I_{\text{RMS}}\approx 5{,}43\\ \text{A}.

Passo 4

Encontrar a potência reativa inicial Q_1 (indutiva) para saber quanto precisamos compensar.
Primeiro obtemos \tan\varphi_1 a partir de \text{pf}_1=\cos\varphi_1=0{,}92. Usamos
\tan\varphi_1 = \frac{\sqrt{1-\cos^2\varphi_1}}{\cos\varphi_1} = \frac{\sqrt{1-0{,}92^2}}{0{,}92}.
Calculemos:
\sqrt{1-0{,}92^2}=\sqrt{1-0{,}8464}=\sqrt{0{,}1536}\approx 0{,}3920.
Logo
\tan\varphi_1 \approx \frac{0{,}3920}{0{,}92}\approx 0{,}42609.
Agora Q_1 = P\tan\varphi_1:
Q_1 \approx 600\cdot 0{,}42609 \approx 255{,}65\\ \text{VAR}
(reativo indutivo).

Passo 5

Calcular a potência reativa desejada Q_2 quando o fator de potência for 0{,}95.
Analogamente, para \text{pf}_2=0{,}95:
\tan\varphi_2 = \frac{\sqrt{1-0{,}95^2}}{0{,}95} = \frac{\sqrt{1-0{,}9025}}{0{,}95} = \frac{\sqrt{0{,}0975}}{0{,}95}\approx \frac{0{,}31225}{0{,}95}\approx 0{,}32868.
Então
Q_2 = P\tan\varphi_2 \approx 600\cdot 0{,}32868 \approx 197{,}21\\ \text{VAR}.

Passo 6

Quantidade de reativo que o capacitor deve fornecer.
Precisamos reduzir o reativo indutivo de Q_1 para Q_2, portanto o capacitor deve fornecer (em módulo)
|Q_C| = Q_1 - Q_2 \approx 255{,}65 - 197{,}21 \approx 58{,}44\\ \text{VAR}.
Interpretação física: o capacitor fornece Q_C\approx -58{,}44\\ \text{VAR} (sinal negativo porque é reativo capacitivo), cancelando parte do reativo indutivo e elevando o pf para 0{,}95.

Passo 7

Calcular a capacitância necessária a 60 Hz.
Fórmula da potência reativa fornecida por um capacitor em regime senoidal:
|Q_C| = V_{\text{RMS}}^2\,\omega\,C,
onde \omega = 2\pi f. Isolando C:
C = \frac{|Q_C|}{V_{\text{RMS}}^2\,\omega}.
Substituindo números:
\omega = 2\pi\cdot 60 \approx 377{,}0\\ \text{rad/s},
V_{\text{RMS}}^2 = 120^2 = 14400\\ \text{V}^2,
C \approx \frac{58{,}44}{14400\cdot 377{,}0} \approx 1{,}0765\times 10^{-5}\\ \text{F}.
Convertendo para microfarads:
C \approx 10{,}8\\ \mu\text{F}.

Passo 8

Resumo prático do que fizemos e observações finais (rápidas e úteis para a prova):
  • Para corrigir o fator de potência coloca-se um capacitor em paralelo com a carga que forneça |Q_C|\approx 58{,}44\\ \text{VAR}.
  • Isso corresponde a um capacitor de aproximadamente C\approx 10{,}8\\ \mu\text{F} a 60\\ \text{Hz}.
  • Efeito prático: a corrente total RMS reduz de cerca de 5{,}43\\ \text{A} para I_{\text{novo}} = \frac{P}{V\cdot 0{,}95} = \frac{600}{120\cdot 0{,}95}\approx 5{,}26\\ \text{A},ou seja, leve redução de corrente na linha e menor perda na fiação.

Resposta

(a) I_{\text{RMS}} \approx 5{,}43\\ \text{A}\n(b) Compensar com um capacitor que forneça |Q_C|\approx 58{,}44\\ \text{VAR}, o que equivale a C \approx 10{,}8\\ \mu\text{F} (colocado em paralelo).

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