(Questão 02) Seja a função escalar:
Determine:
a. Encontre
.
b. Ache
no ponto
.
c. Calcule o módulo de
.
d. Encontre o módulo do gradiente no ponto
definido acima.
a. Encontre
b. Ache
c. Calcule o módulo de
d. Encontre o módulo do gradiente no ponto
Passo 1
O enunciado fornece a função escalar
e pede quatro coisas separadas:
- (a) Encontre
. - (b) Ache
no ponto . - (c) Calcule o módulo de
(isto é, em forma geral). - (d) Encontre o módulo do gradiente no ponto
dado acima.
Passo 2
O que é preciso calcular para (a): o gradiente é o vetor formado pelas derivadas parciais da função em relação a cada variável, isto é,
Lembrete sobre derivada parcial: para
deriva-se
em relação a
mantendo
e
constantes; para
deriva-se em relação a
mantendo
e
constantes; e similarmente para
.
Passo 3
Calculemos cada derivada parcial, termo a termo:
Para
:
- Derivada de
em relação a é . - Termo
não depende de , então sua derivada em relação a é . - Para
, tratando e como constantes, a derivada em relação a é .
Portanto,
Para
:
-
é constante em relação a , derivada . - Derivada de
em relação a é (usando a regra potência: , multiplicado por dá ). - Para
, tratando e como constantes, a derivada em relação a é .
Portanto,
Para
:
-
e são independentes de , derivadas . - Para
, tratando e como constantes, a derivada em relação a é .
Portanto,
Passo 4
Juntando as componentes obtidas, o gradiente geral é
Isto responde a parte (a).
Passo 5
Agora (b): avaliar
no ponto
. Substituímos
,
,
em cada componente:
- Primeira componente:
. - Segunda componente:
. - Terceira componente:
.
Portanto,
Passo 6
Parte (c): o módulo (norma euclidiana) de um vetor
é dado por
. Aplicando ao gradiente geral,
Essa é a expressão geral do módulo do gradiente solicitada.
Passo 7
Parte (d): calcular o módulo do gradiente no ponto
. Usamos
e computamos:
Simplificando
:
, então
Resposta
(a)
(b)
(c)
(d)