(Questão 02) Seja a função escalar:
\Phi(x, y, z)=2 x-3 y^{2}+4 x y z
Determine:
a. Encontre \nabla \Phi.
b. Ache \nabla \Phi no ponto P(1,1,3).
c. Calcule o módulo de \nabla \Phi.
d. Encontre o módulo do gradiente no ponto P definido acima.

Passo 1

O enunciado fornece a função escalar
\Phi(x,y,z)=2x-3y^{2}+4xyz
e pede quatro coisas separadas:
  • (a) Encontre \nabla \Phi.
  • (b) Ache \nabla \Phi no ponto P(1,1,3).
  • (c) Calcule o módulo de \nabla \Phi (isto é, |\nabla \Phi| em forma geral).
  • (d) Encontre o módulo do gradiente no ponto P dado acima.

Passo 2

O que é preciso calcular para (a): o gradiente é o vetor formado pelas derivadas parciais da função em relação a cada variável, isto é,
\nabla \Phi=\left(\frac{\partial \Phi}{\partial x},\frac{\partial \Phi}{\partial y},\frac{\partial \Phi}{\partial z}\right).
Lembrete sobre derivada parcial: para \dfrac{\partial \Phi}{\partial x} deriva-se \Phi em relação a x mantendo y e z constantes; para \dfrac{\partial \Phi}{\partial y} deriva-se em relação a y mantendo x e z constantes; e similarmente para z.

Passo 3

Calculemos cada derivada parcial, termo a termo:
Para \dfrac{\partial \Phi}{\partial x}:
  • Derivada de 2x em relação a x é 2.
  • Termo -3y^{2} não depende de x, então sua derivada em relação a x é 0.
  • Para 4xyz, tratando y e z como constantes, a derivada em relação a x é 4yz.
    Portanto,
\frac{\partial \Phi}{\partial x}=2+4yz.
Para \dfrac{\partial \Phi}{\partial y}:
  • 2x é constante em relação a y, derivada 0.
  • Derivada de -3y^{2} em relação a y é -6y (usando a regra potência: \frac{d}{dy}y^{2}=2y, multiplicado por -3 -6y).
  • Para 4xyz, tratando x e z como constantes, a derivada em relação a y é 4xz.
    Portanto,
\frac{\partial \Phi}{\partial y}=-6y+4xz.
Para \dfrac{\partial \Phi}{\partial z}:
  • 2x e -3y^{2} são independentes de z, derivadas 0.
  • Para 4xyz, tratando x e y como constantes, a derivada em relação a z é 4xy.
    Portanto,
\frac{\partial \Phi}{\partial z}=4xy.

Passo 4

Juntando as componentes obtidas, o gradiente geral é
\nabla \Phi=\left(2+4yz,\;-6y+4xz,\;4xy\right).
Isto responde a parte (a).

Passo 5

Agora (b): avaliar \nabla \Phi no ponto P(1,1,3). Substituímos x=1, y=1, z=3 em cada componente:
  • Primeira componente: 2+4yz=2+4\cdot1\cdot3=2+12=14.
  • Segunda componente: -6y+4xz=-6\cdot1+4\cdot1\cdot3=-6+12=6.
  • Terceira componente: 4xy=4\cdot1\cdot1=4.
Portanto,
\nabla \Phi(1,1,3)=(14,6,4).

Passo 6

Parte (c): o módulo (norma euclidiana) de um vetor V=(V_1,V_2,V_3) é dado por |V|=\sqrt{V_1^{2}+V_2^{2}+V_3^{2}}. Aplicando ao gradiente geral,
|\nabla \Phi|=\sqrt{(2+4yz)^{2}+(-6y+4xz)^{2}+(4xy)^{2}}.
Essa é a expressão geral do módulo do gradiente solicitada.

Passo 7

Parte (d): calcular o módulo do gradiente no ponto P(1,1,3). Usamos \nabla \Phi(1,1,3)=(14,6,4) e computamos:
|\nabla \Phi(1,1,3)|=\sqrt{14^{2}+6^{2}+4^{2}}=\sqrt{196+36+16}=\sqrt{248}.
Simplificando \sqrt{248}: 248=4\cdot62, então
\sqrt{248}=2\sqrt{62}.

Resposta

(a) \nabla \Phi=\left(2+4yz,\;-6y+4xz,\;4xy\right)
(b) \nabla \Phi(1,1,3)=(14,6,4)
(c) |\nabla \Phi|=\sqrt{(2+4yz)^{2}+(-6y+4xz)^{2}+(4xy)^{2}}
(d) |\nabla \Phi(1,1,3)|=2\sqrt{62}

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