Questão 02: Sejam W1, W2 dois subespaços de um espaço vetorial V e seja
W1+W2=w1+w2: w1 in W1, w2 in W2
a soma de W1 e W2.
  1. Mostre que W1 cap W2 e W1+W2 são subespaços.
Solução: Para verificar se W1 cap W2 é um subespaço vetorial, temos que: (i) verificar se o vetor nulo pertence a W1 cap W2; (ii) verificar se o conjunto é fechado nas operações de multiplicação por escalar - na verdade o caso (i) é um caso particular de (ii), que optamos em deixar explícito; (iii) e
soma.
(i) Como W1 e W2 são subespaços vetoriais, o nulo pertence a ambos e, portanto à interseção.
(ii) Seja v in W1 cap W2. Como W1 e W2 são subespaços vetoriais, alpha v in W1 e alpha v in W2 e, portanto, alpha v in W1 cap W2.
(iii) Sejam v, u in W1 cap W2. Como W1 e W2 são subespaços vetoriais, alpha v, beta u in W1 e alpha v, beta u in W2, alpha v+beta u in W1 e alpha v+beta u in W2 e, portanto alpha v+beta u in W1 cap W2.
Para W1+W2, temos:
(i) 0 in W1 e 0 in W2, então 0=0+0 e 0 in W1+W2.
(ii) Se v in W1+W2, temos que v=w1+w2 alpha v=alpha w1+alpha w2, para w1 in W1 e w2 in W2. Como W1 e W2 são subespaços vetoriais alpha w1 in W1 e alpha w2 in W2 e, portanto alpha v=alpha w1+alpha w2 in W1+W2.
(iii) Definir v, u como somas em W1+W2, aplicar a multiplicação por escalares, cujos resultados estão em W1 e W2, e, portanto serão fatores da soma que define os elementos em W1+W2.
2. Mostre que W1 cap W2 subseteq W1 cup W2 subseteq W1+W2.
Solução:
  • Primeira relação: v in W1 cap W2 v in W1, v in W2, logo v in W1 cup W2.
  • Segunda relação: Tome v in W1 cup W2. Suponha que v in W1 e v notin W2. Então v=v+0, onde 0 in W2, portanto v in W1+W2. Agora suponha que v in W1 cap W2. Como W1, W2 são subespaços, para qualquer alpha in R temos que alpha v in W1,(1-alpha) v in W2, logo v=alpha v+(1-alpha) v in W1+W2.
  1. W1 cup W2 é um subespaço ? Justifique.
Solução: Não. Como contra-exemplo, considere W1=(x, y) in R^2: x= y=span(1,1)^T e W2=(x, y) in R^2: x=-y=span(-1,1)^T, que nada mais é que um particionamento do conjunto do terceiro exercício desta lista. Claramente W1, W2 são subespaços mas W1 cup W2=(x, y) : x^2-y^2=0, x, y in R não é um subespaço.
4. Quando W1 cup W2 é um subespaço ?
Solução: Quando W1 subseteq W2 ou W2 subseteq W1. Sempre que existir a diferença simétrica, isto é, W1 backslash W2 neq emptyset e W2 backslash W1 neq emptyset podemos tomar v in W1 backslash W2 e u in W2 backslash W1 e a soma u+v não pertence a W1 cup W2.
5. Qual o menor subespaço de V contendo W1 cup W2 ?
Solução: W1+W2. Pela questão 4 acima, para ser subespaço precisa ser pelo menos W1+W2. Se o conjunto então envolver v notin W1+W2 e for subespaço, não é o menor subespaç contendo W1 cup W2.

Passo 1

O enunciado trabalha com dois subespaços W1,W2 de um espaço vetorial V e define a soma
W1+W2=,w1+w2:w1in W1,,w2in W2
Precisamos:
  1. Mostrar que ,W1cap W2 e ,W1+W2 são subespaços de V.
  2. Provar que ,W1cap W2subseteq W1cup W2subseteq W1+W2
  3. Verificar se ,W1cup W2 é subespaço e quando isso ocorre.
  4. Indicar qual é o menor subespaço de V que contém W1cup W2.

Passo 2

Mostrar que W1cap W2 é subespaço. Para isso verificamos:
(i) Zero: como 0in W1 e 0in W2, segue 0in W1cap W2.
(ii) Fechamento escalar: se vin W1cap W2 então vin W1 e vin W2. Para qualquer alphainK (campo),
alpha vin W1 e alpha vin W2, logo alpha vin W1cap W2
(iii) Fechamento soma linear: se u,vin W1cap W2 e alpha,betainK, então alpha u+beta vin W1 e alpha u+beta vin W2. Assim alpha u+beta vin W1cap W2

Passo 3

Mostrar que W1+W2 é subespaço. Novamente:
(i) Zero: como 0in W1 e 0in W2 temos 0=0+0in W1+W2
(ii) Fechamento escalar: se vin W1+W2 então v=w1+w2 com w1in W1,w2in W2. Para alphainK,
alpha v=alpha w1+alpha w2,
e como alpha w1in W1, alpha w2in W2, segue alpha vin W1+W2
(iii) Fechamento soma linear: se u=w1'+w2' e v=w1+w2 em W1+W2, então para alpha,betainK,
alpha u+beta v=(alpha w1'+beta w1)+(alpha w2'+beta w2),
com cada par pertencendo a W1 e W2 respectivamente, logo alpha u+beta vin W1+W2

Passo 4

Provar as inclusões ,W1cap W2subseteq W1cup W2subseteq W1+W2.
  1. Se vin W1cap W2 então vin W1 e vin W2, logo vin W1cup W2
  2. Se vin W1cup W2 então ou vin W1 ou vin W2. Se vin W1 então v=v+0in W1+W2. Se vin W2 então v=0+vin W1+W2. Assim W1cup W2subseteq W1+W2

Passo 5

Analisar se W1cup W2 é subespaço. Em geral não é, pois pode falhar fechamento soma.
Contra-exemplo simples em R^2:
W1=(x,x):xinR, W2=(x,-x):xinR
Ambos são linhas (subespaços), mas (1,1)in W1 e (1,-1)in W2 e
(1,1)+(1,-1)=(2,0)notin W1cup W2

Passo 6

Determinar quando W1cup W2 é subespaço. Isso só ocorre se um contiver o outro, i.e.
W1subseteq W2ou W2subseteq W1
Nesse caso a união coincide com o maior dos dois subespaços, garantindo fechamento sob soma e escalares.

Passo 7

Encontrar o menor subespaço de V que contém W1cup W2.
Por definição, qualquer subespaço que contenha W1cup W2 deve conter todas as combinações lineares de elementos de W1 e W2. Então o menor subespaço contendo a união é exatamente
W1+W2

Resposta

  1. Tanto W1cap W2 quanto W1+W2 são subespaços de V.
  2. Vale ;W1cap W2subseteq W1cup W2subseteq W1+W2
  3. W1cup W2 não é, em geral, um subespaço.
  4. A união só é subespaço se W1subseteq W2 ou W2subseteq W1
  5. O menor subespaço que contém W1cup W2 é W1+W2

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