Questão 02: Sejam
dois subespaços de um espaço vetorial
e seja
a soma de
e
.
- Mostre que
e
são subespaços.
Solução: Para verificar se
é um subespaço vetorial, temos que: (i) verificar se o vetor nulo pertence a
; (ii) verificar se o conjunto é fechado nas operações de multiplicação por escalar - na verdade o caso (i) é um caso particular de (ii), que optamos em deixar explícito; (iii) e
soma.
(i) Como
e
são subespaços vetoriais, o nulo pertence a ambos e, portanto à interseção.
(ii) Seja
. Como
e
são subespaços vetoriais,
, portanto,
.
(iii) Sejam v,
. Como
e
são subespaços vetoriais,
e
e
e, portanto
.
Para
, temos:
(i)
e
, então
e
.
(ii) Se
, temos que
, para
e
. Como
e
são subespaços vetoriais
, portanto
.
(iii) Definir
como somas em
, aplicar a multiplicação por escalares, cujos resultados estão em
e
, e, portanto serão fatores da soma que define os elementos em
.
2. Mostre que
.
Solução:
- Primeira relação:
, logo
.
- Segunda relação: Tome
. Suponha que
e
. Então
, onde
, portanto
. Agora suponha que
. Como
são subespaços, para qualquer
temos que
.
-
é um subespaço ? Justifique.
Solução: Não. Como contra-exemplo, considere
e
, que nada mais é que um particionamento do conjunto do terceiro exercício desta lista. Claramente
são subespaços mas
:
não é um subespaço.
4. Quando
é um subespaço ?
Solução: Quando
ou
. Sempre que existir a diferença simétrica, isto é,
e
podemos tomar
e
e a soma
não pertence a
.
5. Qual o menor subespaço de
contendo
?
Solução:
. Pela questão 4 acima, para ser subespaço precisa ser pelo menos
. Se o conjunto então envolver
e for subespaço, não é o menor subespaç contendo
.
soma.
(i) Como
(ii) Seja
(iii) Sejam v,
(i)
(ii) Se
(iii) Definir
2. Mostre que
4. Quando
5. Qual o menor subespaço de
Passo 1
O enunciado trabalha com dois subespaços
de um espaço vetorial
e define a soma
Precisamos:
- Mostrar que
e são subespaços de . - Provar que
- Verificar se
é subespaço e quando isso ocorre. - Indicar qual é o menor subespaço de
que contém .
Passo 2
Mostrar que
é subespaço. Para isso verificamos:
(i) Zero: como e
, segue
.
(ii) Fechamento escalar: se então
e
. Para qualquer
(campo),
e
, logo
(iii) Fechamento soma linear: se e
, então
e
. Assim
(i) Zero: como
(ii) Fechamento escalar: se
(iii) Fechamento soma linear: se
Passo 3
Mostrar que
é subespaço. Novamente:
(i) Zero: como e
temos
(ii) Fechamento escalar: se então
com
. Para
,
(i) Zero: como
(ii) Fechamento escalar: se
e como
,
, segue
(iii) Fechamento soma linear: se e
em
, então para
,
(iii) Fechamento soma linear: se
com cada par pertencendo a
e
respectivamente, logo
Passo 4
Provar as inclusões
.
- Se
então e , logo - Se
então ou ou . Se então . Se então . Assim
Passo 5
Analisar se
é subespaço. Em geral não é, pois pode falhar fechamento soma.
Contra-exemplo simples em :
Contra-exemplo simples em
Ambos são linhas (subespaços), mas
e
e
Passo 6
Determinar quando
é subespaço. Isso só ocorre se um contiver o outro, i.e.
Nesse caso a união coincide com o maior dos dois subespaços, garantindo fechamento sob soma e escalares.
Passo 7
Encontrar o menor subespaço de
que contém
.
Por definição, qualquer subespaço que contenha deve conter todas as combinações lineares de elementos de
e
. Então o menor subespaço contendo a união é exatamente
Por definição, qualquer subespaço que contenha
Resposta
- Tanto
quanto são subespaços de . - Vale
-
não é, em geral, um subespaço. - A união só é subespaço se
ou - O menor subespaço que contém
é