Sejam boldsymbolu=(u1, ldots, un) e boldsymbolv=(v1, ldots, vn) vetores arbitrários de C^n. Verifique se lang<=u, vrang<=, definido em cada item abaixo, é um produto interno em C^n. Em caso negativo, enumere os axiomas que não são verificados. Nota: para vi in C,|vi|=raizvi vi.
lang<=u, vrang<==sumi=1^n(ui+vi)^2-sumi=1^n ui^2-sumi=1^n vi^2

Passo 1

O enunciado nos dá vetores u,vinC^n e define a forma
lang<=u,vrang<= =sumi=1^n(ui+vi)^2 -sumi=1^nui^2 -sumi=1^nvi^2
Queremos verificar se isto satisfaz os três axiomas de produto interno em C^n:
1. simetria hermitiana lang<= u,vrang<==lang<= v,urang<=,
2. sesquilinearidade (linearidade em um argumento e conjugado-linear no outro),
3. definitude positiva lang<= u,urang<=>0 para todo uneq0.

Passo 2

Expandindo cada termo em lang<=u,vrang<= temos para todo i
(ui+vi)^2=ui^2+2,ui,vi+vi^2,
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sumi=1^n(ui+vi)^2 -sumi=1^n ui^2 -sumi=1^n vi^2 =2sumi=1^n ui,vi
Portanto podemos reescrever
lang<=u,vrang<= =2sumi=1^n ui,vi

Passo 3

Verificação da simetria hermitiana:
lang<=v,urang<= =2sumi=1^n vi,ui =2sumi=1^n ui,vi =lang<=u,vrang<=
Mas a condição hermitiana exige lang<= u,vrang<==lang<= v,urang<=. Como
lang<= v,urang<==2sum ui vi=2sumui vi,
em geral
lang<= u,vrang<=neqlang<= v,urang<=.
Axioma violado: simetria hermitiana.

Passo 4

Verificação da sesquilinearidade no segundo argumento: para alphainC
lang<=u,alphavrang<= =2sumi=1^n ui,(alpha vi) =alpha;2sumi=1^n ui,vi =alpha,lang<=u,vrang<=
Porém a propriedade exigida é
lang<= u,alpha vrang<==alpha,lang<= u,vrang<=.
Axioma violado: conjugado-linearidade no segundo argumento.

Passo 5

Verificação da positividade:
lang<=u,urang<= =2sumi=1^n ui^2
Para uneq0 esse valor pode ser zero ou mesmo não real (por exemplo, se um dos ui=i então ui^2=-1). Logo não temos
lang<= u,urang<=>0 sempre que uneq0.
Axioma violado: positividade (definitude positiva).

Resposta

Não é um produto interno em C^n.
Axiomas violados:
1. simetria hermitiana,
2. conjugado-linearidade no segundo argumento,
3. positividade.

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