Sejam e vetores arbitrários de . Verifique se , definido em cada item abaixo, é um produto interno em . Em caso negativo, enumere os axiomas que não são verificados. Nota: para . lang<=u, vrang<==sumi=1^n(ui+vi)^2-sumi=1^n ui^2-sumi=1^n vi^2
Passo 1
O enunciado nos dá vetores u,vinC^n e define a forma
Queremos verificar se isto satisfaz os três axiomas de produto interno em C^n: 1. simetria hermitiana lang<= u,vrang<==lang<= v,urang<=, 2. sesquilinearidade (linearidade em um argumento e conjugado-linear no outro), 3. definitude positiva lang<= u,urang<=>0 para todo uneq0.
Passo 2
Expandindo cada termo em lang<=u,vrang<= temos para todo i
Porém a propriedade exigida é lang<= u,alpha vrang<==alpha,lang<= u,vrang<=.
Axioma violado: conjugado-linearidade no segundo argumento.
Passo 5
Verificação da positividade:
lang<=u,urang<= =2sumi=1^n ui^2
Para uneq0 esse valor pode ser zero ou mesmo não real (por exemplo, se um dos ui=i então ui^2=-1). Logo não temos lang<= u,urang<=>0 sempre que uneq0.
Axioma violado: positividade (definitude positiva).
Resposta
Não é um produto interno em C^n.
Axiomas violados: 1. simetria hermitiana, 2. conjugado-linearidade no segundo argumento, 3. positividade.