QUESTÃO 09 (Valor: 15,0 pontos) - Derive as seguintes funções, simplificando o resultado o máximo possível:
(5 ptos) y=\frac{x^{2}-5 x}{x+2}

Passo 1

O enunciado pede: derive a função \displaystyle y=\frac{x^{2}-5x}{x+2}.
Informações dadas: a expressão de y como quociente de dois polinômios, numerador \displaystyle x^{2}-5x e denominador \displaystyle x+2.
O que se quer: encontrar y', a derivada de y em função de x, e simplificar o resultado o máximo possível.

Passo 2

Escolhi primeiro simplificar a função por divisão de polinômios (divisão de um polinômio pelo binômio \,x+2) porque isso transforma a função em soma de termos simples, e daí derivamos termo a termo com regras básicas. A divisão funciona assim: dividimos \displaystyle x^{2}-5x por \displaystyle x+2.
Calculemos a divisão:
\begin{array}{r|l} x+2 & x^{2}-5x+0\\hline & x-7\\\ & \underline{x^{2}+2x}\\\ & -7x+0\\\ & \underline{-7x-14}\\\ & 14 \end{array}
O quociente é \displaystyle x-7 e o resto é \displaystyle 14. Portanto,
\frac{x^{2}-5x}{x+2}=x-7+\frac{14}{x+2}.

Passo 3

Reescrevo \,y de forma mais simples para derivar:
y = x - 7 + \frac{14}{x+2}.
Vantagem: derivamos cada termo separadamente usando regra do poder e derivada de constante, além da regra da cadeia para a última fração.

Passo 4

Lembremos das regras que usaremos:
  • Regra do poder: \displaystyle \frac{d}{dx}\bigl(x^{n}\bigr)=n x^{n-1}. Aqui vale também para n=1 (derivada de x é 1).
  • Derivada de constante: \displaystyle \frac{d}{dx}\text{(c)}=0 para constante c.
  • Regra da cadeia (caso simples): \displaystyle \frac{d}{dx}\bigl((u(x))^{m}\bigr)=m(u(x))^{m-1}\,u'(x).
Aplicando essas regras termo a termo:
  • \displaystyle \frac{d}{dx}(x)=1.
  • \displaystyle \frac{d}{dx}(-7)=0.
  • Para \displaystyle \frac{14}{x+2}, escrevemos \displaystyle 14(x+2)^{-1}. Usando regra do poder com cadeia:
\frac{d}{dx}\bigl(14(x+2)^{-1}\bigr)=14\cdot(-1)(x+2)^{-2}\cdot\frac{d}{dx}(x+2).
Como \displaystyle \frac{d}{dx}(x+2)=1, isso dá
\frac{d}{dx}\bigl(\tfrac{14}{x+2}\bigr)=-\frac{14}{(x+2)^{2}}.

Passo 5

Somando as derivadas dos termos:
y' = 1 + 0 - \frac{14}{(x+2)^{2}} = 1 - \frac{14}{(x+2)^{2}}.
Agora simplificamos para uma única fração. Colocamos sobre o mesmo denominador (x+2)^{2}:
y'=\frac{(x+2)^{2}}{(x+2)^{2}}-\frac{14}{(x+2)^{2}}=\frac{(x+2)^{2}-14}{(x+2)^{2}}.
Calculamos o numerador:
(x+2)^{2}-14 = (x^{2}+4x+4)-14 = x^{2}+4x-10.
Logo,
y'=\frac{x^{2}+4x-10}{(x+2)^{2}}.

Passo 6

(Fazendo uma checagem rápida — opcional — usando a regra do quociente: se aplicássemos \displaystyle \frac{d}{dx}\!\left(\frac{u}{v}\right)=\frac{u'v-uv'}{v^{2}} com u=x^{2}-5x, u'=2x-5, v=x+2, v'=1, obteríamos
y'=\frac{(2x-5)(x+2)-(x^{2}-5x)\cdot 1}{(x+2)^{2}}.
Expandindo e simplificando esse numerador chega-se também em \displaystyle x^{2}+4x-10, confirmando o resultado anterior.)

Resposta

y'=\frac{x^{2}+4x-10}{(x+2)^{2}}

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