QUESTÃO 09 (Valor: 15,0 pontos) - Derive as seguintes funções, simplificando o resultado o máximo possível:
(5 ptos) y=\frac{x^{2}-5 x}{x+2}
Passo 1
O enunciado pede: derive a função \displaystyle y=\frac{x^{2}-5x}{x+2}.
Informações dadas: a expressão de y como quociente de dois polinômios, numerador \displaystyle x^{2}-5x e denominador \displaystyle x+2.
O que se quer: encontrar y', a derivada de y em função de x, e simplificar o resultado o máximo possível.
Passo 2
Escolhi primeiro simplificar a função por divisão de polinômios (divisão de um polinômio pelo binômio \,x+2) porque isso transforma a função em soma de termos simples, e daí derivamos termo a termo com regras básicas. A divisão funciona assim: dividimos \displaystyle x^{2}-5x por \displaystyle x+2.
(Fazendo uma checagem rápida — opcional — usando a regra do quociente: se aplicássemos \displaystyle \frac{d}{dx}\!\left(\frac{u}{v}\right)=\frac{u'v-uv'}{v^{2}} com u=x^{2}-5x, u'=2x-5, v=x+2, v'=1, obteríamos