01: Determine o conjunto solução do sistema:
\begin{aligned} x^{2}+y^{2} & =34 \\\\ -x^{2}+y^{2} & =9 \end{aligned}

Passo 1

O enunciado pede: determinar o conjunto solução do sistema
\begin{aligned} x^{2}+y^{2} &=34,\\\\ -x^{2}+y^{2} &=9. \end{aligned}
Informações dadas:
  • Temos duas equações algébricas envolvendo apenas x^{2} e y^{2}.
  • O objetivo é encontrar todos os pares (x,y) que satisfazem simultaneamente as duas equações.
  • Não há restrição adicional sobre x e y (podem ser positivos, negativos ou zero).

Passo 2

Estratégia (explicação didática): quando as equações envolvem x^{2} e y^{2}, uma técnica muito prática é somar e subtrair as equações para eliminar uma das incógnitas ao quadrado. Isso funciona porque os termos são lineares em x^{2} e y^{2}. Vou mostrar passo a passo como fazer isso.

Passo 3

Somando as duas equações para eliminar x^{2}. Escrevo a soma explicitamente:
(x^{2}+y^{2}) + (-x^{2}+y^{2}) = 34 + 9.
No lado esquerdo o x^{2} e -x^{2} se cancelam, então sobra
2y^{2} = 43.
Agora isolo y^{2}:
y^{2} = \frac{43}{2}.

Passo 4

Encontrando y a partir de y^{2}. Lembre-se: se y^{2}=a com a>0, então y=\pm\sqrt{a}. Aqui
y = \pm\sqrt{\frac{43}{2}}.
Para escrever a raiz de forma levemente mais simples sem denominador dentro da raiz, uso
\sqrt{\frac{43}{2}}=\frac{\sqrt{43}}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{43}\sqrt{2}}{2}=\frac{\sqrt{86}}{2}.
Logo
y=\pm\frac{\sqrt{86}}{2}.

Passo 5

Agora subtraio a segunda equação da primeira (ou faço (1)-(2)) para eliminar y^{2}. Escrevo:
(x^{2}+y^{2}) - (-x^{2}+y^{2}) = 34 - 9.
No lado esquerdo y^{2}-y^{2} se cancela, ficando
2x^{2} = 25.
Isolando x^{2}:
x^{2} = \frac{25}{2}.

Passo 6

Encontrando x a partir de x^{2}. De novo, se x^{2}=b com b>0, então x=\pm\sqrt{b}. Aqui
x = \pm\sqrt{\frac{25}{2}}.
Posso simplificar a raiz:
\sqrt{\frac{25}{2}}=\frac{\sqrt{25}}{\sqrt{2}}=\frac{5}{\sqrt{2}}.
Para racionalizar o denominador (opcional, mas comum):
\frac{5}{\sqrt{2}}=\frac{5\sqrt{2}}{2}.
Logo
x=\pm\frac{5\sqrt{2}}{2}.

Passo 7

Combinação dos sinais e justificativa: as equações originais dependem apenas de x^{2} e y^{2}, ou seja, trocar x por -x ou y por -y não altera as equações. Portanto os sinais de x e y são independentes — todas as combinações de sinais são soluções. Assim temos quatro soluções correspondentes às escolhas independentes dos sinais de x e y.

Passo 8

Verificação rápida com um exemplo (sanidade): tomo x=\frac{5\sqrt{2}}{2} e y=\frac{\sqrt{86}}{2}. Calculo
x^{2}=\left(\frac{5\sqrt{2}}{2}\right)^{2}=\frac{25\cdot 2}{4}=\frac{50}{4}=\frac{25}{2},
y^{2}=\left(\frac{\sqrt{86}}{2}\right)^{2}=\frac{86}{4}=\frac{43}{2}.
Então
x^{2}+y^{2}=\frac{25}{2}+\frac{43}{2}=\frac{68}{2}=34
e
-x^{2}+y^{2}=-\frac{25}{2}+\frac{43}{2}=\frac{18}{2}=9,
o que confirma que esse par satisfaz o sistema. Como o sistema depende só de quadrados, as outras combinações de sinais também funcionam.

Resposta

\left(\dfrac{5\sqrt{2}}{2},\dfrac{\sqrt{86}}{2}\right)
\left(-\dfrac{5\sqrt{2}}{2},\dfrac{\sqrt{86}}{2}\right)
\left(\dfrac{5\sqrt{2}}{2},-\dfrac{\sqrt{86}}{2}\right)
\left(-\dfrac{5\sqrt{2}}{2},-\dfrac{\sqrt{86}}{2}\right)

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