01: Determine o conjunto solução do sistema:
Passo 1
O enunciado pede: determinar o conjunto solução do sistema
Informações dadas:
- Temos duas equações algébricas envolvendo apenas
e . - O objetivo é encontrar todos os pares
que satisfazem simultaneamente as duas equações. - Não há restrição adicional sobre
e (podem ser positivos, negativos ou zero).
Passo 2
Estratégia (explicação didática): quando as equações envolvem
e
, uma técnica muito prática é somar e subtrair as equações para eliminar uma das incógnitas ao quadrado. Isso funciona porque os termos são lineares em
e
. Vou mostrar passo a passo como fazer isso.
Passo 3
Somando as duas equações para eliminar
. Escrevo a soma explicitamente:
No lado esquerdo o
e
se cancelam, então sobra
Agora isolo
:
Passo 4
Encontrando
a partir de
. Lembre-se: se
com
, então
. Aqui
Para escrever a raiz de forma levemente mais simples sem denominador dentro da raiz, uso
Logo
Passo 5
Agora subtraio a segunda equação da primeira (ou faço
) para eliminar
. Escrevo:
No lado esquerdo
se cancela, ficando
Isolando
:
Passo 6
Encontrando
a partir de
. De novo, se
com
, então
. Aqui
Posso simplificar a raiz:
Para racionalizar o denominador (opcional, mas comum):
Logo
Passo 7
Combinação dos sinais e justificativa: as equações originais dependem apenas de
e
, ou seja, trocar
por
ou
por
não altera as equações. Portanto os sinais de
e
são independentes — todas as combinações de sinais são soluções. Assim temos quatro soluções correspondentes às escolhas independentes dos sinais de
e
.
Passo 8
Verificação rápida com um exemplo (sanidade): tomo
e
. Calculo
Então
e
o que confirma que esse par satisfaz o sistema. Como o sistema depende só de quadrados, as outras combinações de sinais também funcionam.