(Questão 03)[2,0 pontos] Calcule m de modo que \vec{u}=(1,-2) seja ortogonal a \vec{v}=(m, 4)

Passo 1

O enunciado pede: calcular m de modo que \vec{u}=(1,-2) seja ortogonal a \vec{v}=(m,4).
Informações dadas: \vec{u}=(1,-2) e \vec{v}=(m,4). Objetivo: encontrar o valor de m que torna esses dois vetores ortogonais.

Passo 2

Conceito essencial (passo a passo): dois vetores em \mathbb{R}^2 são ortogonais quando o produto escalar entre eles vale zero.
Definição do produto escalar para vetores \vec{a}=(a_1,a_2) e \vec{b}=(b_1,b_2):
\vec{a}\cdot\vec{b}=a_1 b_1 + a_2 b_2.
Aqui a_1,a_2,b_1,b_2 são as componentes dos vetores (os números que aparecem nas posições x e y).
Então, ortogonalidade significa:
\vec{a}\perp\vec{b}\\ \Longleftrightarrow\\ \vec{a}\cdot\vec{b}=0.

Passo 3

Aplique a definição ao caso dado: \vec{u}=(1,-2) e \vec{v}=(m,4). Calculamos o produto escalar seguindo a fórmula componente a componente:
\vec{u}\cdot\vec{v}=1\cdot m + (-2)\cdot 4.

Passo 4

Simplificando a expressão do produto escalar temos:
\vec{u}\cdot\vec{v}=m - 8.
Pela condição de ortogonalidade, esse resultado deve ser zero, então:
m - 8 = 0.

Passo 5

Resolva a equação para m:
m = 8.
Fazendo uma checagem rápida: \vec{u}\cdot\vec{v}=1\cdot 8 + (-2)\cdot 4 = 8 - 8 = 0, confirmando que os vetores ficam ortogonais.

Passo 6

Resumo prático para a prova (receita rápida): quando pedirem m para que dois vetores sejam ortogonais, compute o produto escalar (multiplica componentes correspondentes e soma), iguale a zero e resolva a equação. Exemplo simples de reforço: (1,0) e (0,1) têm produto escalar 1\cdot 0 + 0\cdot 1 = 0, portanto são ortogonais — mesma ideia aplicada aqui.

Resposta

m=8

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