(Questão 03)[2,0 pontos] Calcule
de modo que
seja ortogonal a
Passo 1
O enunciado pede: calcular
de modo que
seja ortogonal a
.
Informações dadas: e
. Objetivo: encontrar o valor de
que torna esses dois vetores ortogonais.
Informações dadas:
Passo 2
Conceito essencial (passo a passo): dois vetores em
são ortogonais quando o produto escalar entre eles vale zero.
Definição do produto escalar para vetores e
:
Definição do produto escalar para vetores
Aqui
são as componentes dos vetores (os números que aparecem nas posições
e
).
Então, ortogonalidade significa:
Então, ortogonalidade significa:
Passo 3
Aplique a definição ao caso dado:
e
. Calculamos o produto escalar seguindo a fórmula componente a componente:
Passo 4
Simplificando a expressão do produto escalar temos:
Pela condição de ortogonalidade, esse resultado deve ser zero, então:
Passo 5
Resolva a equação para
:
Fazendo uma checagem rápida:
, confirmando que os vetores ficam ortogonais.
Passo 6
Resumo prático para a prova (receita rápida): quando pedirem
para que dois vetores sejam ortogonais, compute o produto escalar (multiplica componentes correspondentes e soma), iguale a zero e resolva a equação. Exemplo simples de reforço:
e
têm produto escalar
, portanto são ortogonais — mesma ideia aplicada aqui.