QUESTÃO 1
Fonte:
Elementos de Álgebra Linear (2017) - Ron Larson, capítulo 4, p. 166, questão 38.
Enunciado
Determine se o conjunto
com as operações
é um espaço vetorial. Se for, verifique cada axioma de espaço vetorial; se não for, indique todos os axiomas de espaço vetorial que não são válidos.
| QUESTÃO 1 | |||
| Fonte: | Elementos de Álgebra Linear (2017) - Ron Larson, capítulo 4, p. 166, questão 38. | ||
| Enunciado |
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Passo 1
O enunciado pede para determinar se o conjunto
, com as operações
e
é um espaço vetorial (sobre
, presumivelmente).\n
Informações dadas:
Informações dadas:
adição é feita componente a componente por multiplicação real e a multiplicação por escalar é a usual componente a componente.\n
O que se pede: verificar todos os axiomas de espaço vetorial; se algum não valer, indicá‑los todos.
O que se pede: verificar todos os axiomas de espaço vetorial; se algum não valer, indicá‑los todos.
Passo 2
Vou lembrar, de forma simples, os axiomas que um conjunto
com duas operações deve satisfazer para ser espaço vetorial sobre
. Vou listar cada axioma e explicar em palavras simples o que ele exige (sem ainda aplicar ao nosso caso).
- Fechamento por adição: para todo
, .\n - Comutatividade da adição: para todo
, .\n - Associatividade da adição: para todo
, .\n - Existência do elemento neutro (vetor zero): existe
tal que para todo .\n - Existência de inversos aditivos: para todo
existe tal que .\n - Fechamento por multiplicação por escalar: para todo
e , .\n - Compatibilidade da multiplicação escalar: para todo
e , .\n - Elemento neutro escalar: para todo
, .\n - Distributividade em relação à adição de vetores: para todo
e , .\n - Distributividade em relação à soma de escalares: para todo
e , .\n
Agora vou checar cada um desses axiomas no nossocom as operações dadas, explicando cada passo com calma.
Passo 3
Axioma 1 — Fechamento por adição.\n
Pegar . A soma definida é
Pegar
Como
e
são números reais, o par
pertence a
. Portanto a operação está fechada em
.\n
Conclusão: Axioma 1 é satisfeito.
Conclusão: Axioma 1 é satisfeito.
Passo 4
Axioma 2 — Comutatividade da adição.\n
A soma é componente a componente por multiplicação real. Como a multiplicação de números reais é comutativa,
A soma é componente a componente por multiplicação real. Como a multiplicação de números reais é comutativa,
Conclusão: Axioma 2 é satisfeito.
Passo 5
Axioma 3 — Associatividade da adição.\n
Para ,
Para
Como a multiplicação real é associativa, os dois lados coincidem.\n
Conclusão: Axioma 3 é satisfeito.
Conclusão: Axioma 3 é satisfeito.
Passo 6
Axioma 4 — Existência do elemento neutro aditivo (vetor zero).\n
Procuramos tal que para todo
valha
Procuramos
Pela definição da soma isto é
Para isso precisamos que
e
para todo
. Isso exige
e
. Portanto
Verificação direta:
.\n
Conclusão: existe elemento neutro aditivo . Axioma 4 é satisfeito.
Conclusão: existe elemento neutro aditivo
Passo 7
Axioma 5 — Existência de inversos aditivos.\n
Dado , precisamos de
(vou usar
para não confundir) tal que
Dado
Pela definição,
Isso é equivalente a
e
. Porém esses números
e
existem somente quando
e
. Se alguma coordenada de
for zero, não existe
(ou
) que satisfaça
(pois
).\n
Exemplo explícito: para não existe
com
porque a primeira coordenada exigiria
, impossível.\n
Conclusão: Nem todo vetor tem inverso aditivo. Axioma 5 falha (é falso).
Exemplo explícito: para
Conclusão: Nem todo vetor tem inverso aditivo. Axioma 5 falha (é falso).
Passo 8
Axioma 6 — Fechamento por multiplicação por escalar.\n
Para e
,
Para
e
porque são números reais. Portanto a operação de multiplicação por escalar é fechada.\n
Conclusão: Axioma 6 é satisfeito.
Conclusão: Axioma 6 é satisfeito.
Passo 9
Axioma 7 — Compatibilidade da multiplicação escalar:
.\n
Tomando ,
Tomando
E
Os dois são exatamente iguais. Isso ocorre porque a multiplicação real é associativa e a multiplicação escalar é a multiplicação usual em cada componente.\n
Conclusão: Axioma 7 é satisfeito.
Conclusão: Axioma 7 é satisfeito.
Passo 10
Axioma 8 — Identidade escalar:
.\n
Para ,
Para
Conclusão: Axioma 8 é satisfeito.
Passo 11
Axioma 9 — Distributividade do escalar sobre soma de vetores:
.\n
Sejam e
. Calculemos os dois lados.\n
LADO ESQUERDO:
Sejam
LADO ESQUERDO:
LADO DIREITO:
Comparando,
Os dois só coincidem para todos
se
para todo
, o que é falso (por exemplo para
não vale).\n
Exemplo numérico rápido: tome ,
,
.\n
Lado esquerdo: ,
.\n
Lado direito: ,
,
. Claramente
.\n
Conclusão: Axioma 9 falha em geral.
Exemplo numérico rápido: tome
Lado esquerdo:
Lado direito:
Conclusão: Axioma 9 falha em geral.
Passo 12
Axioma 10 — Distributividade da soma de escalares sobre o vetor:
.\n
Para ,
Para
Por outro lado,
Comparando,
vs
não são iguais em geral. Exemplo: escolha
e
.\n
Temos
. Logo o axioma 10 falha.\n
Conclusão: Axioma 10 é falso.
Conclusão: Axioma 10 é falso.
Passo 13
Resumo do que ocorreu (tomando um tom amigo): várias propriedades básicas funcionam porque a adição é só multiplicação real em cada coordenada e a multiplicação escalar é a usual. Especificamente, os axiomas 1, 2, 3, 4, 6, 7 e 8 são satisfeitos. Contudo dois tipos importantes de axiomas falham: o axioma de existência de inversos aditivos (5) e as duas distributividades relacionadas ao escalar (9 e 10). Por isso a estrutura não é um espaço vetorial. Também dá para ver uma contradição intuitiva: em um espaço vetorial
deve ser o vetor zero aditivo; aqui
enquanto o zero aditivo é
, então propriedades esperadas não se mantêm — mais um sinal de que não é espaço vetorial.
Resposta
Não é um espaço vetorial. Axiomas que não são válidos: existência de inverso aditivo (nem todo
tem
), distributividade
e distributividade
.