QUESTÃO 1
Fonte: Elementos de Álgebra Linear (2017) - Ron Larson, capítulo 4, p. 166, questão 38.
Enunciado
Determine se o conjunto R^{2} com as operações \begin{aligned} & \left(x_{1}, y_{1}\right)+\left(x_{2}, y_{2}\right)=\left(x_{1} x_{2}, y_{1} y_{2}\right) \\\ & c\left(x_{1}, y_{1}\right)=\left(c x_{1}, c y_{1}\right) \end{aligned}
é um espaço vetorial. Se for, verifique cada axioma de espaço vetorial; se não for, indique todos os axiomas de espaço vetorial que não são válidos.

Passo 1

O enunciado pede para determinar se o conjunto \mathbb{R}^2, com as operações
(x_1,y_1)+(x_2,y_2)=(x_1 x_2,\; y_1 y_2)
e
c(x_1,y_1)=(c x_1,\; c y_1),
é um espaço vetorial (sobre \mathbb{R}, presumivelmente).\n
Informações dadas:
(x_1,y_1),(x_2,y_2)\in\mathbb{R}^2,\qquad c\in\mathbb{R},
adição é feita componente a componente por multiplicação real e a multiplicação por escalar é a usual componente a componente.\n
O que se pede: verificar todos os axiomas de espaço vetorial; se algum não valer, indicá‑los todos.

Passo 2

Vou lembrar, de forma simples, os axiomas que um conjunto V com duas operações deve satisfazer para ser espaço vetorial sobre \mathbb{R}. Vou listar cada axioma e explicar em palavras simples o que ele exige (sem ainda aplicar ao nosso caso).
  1. Fechamento por adição: para todo u,v\in V, u+v\in V.\n
  2. Comutatividade da adição: para todo u,v\in V, u+v=v+u.\n
  3. Associatividade da adição: para todo u,v,w\in V, (u+v)+w=u+(v+w).\n
  4. Existência do elemento neutro (vetor zero): existe 0_V\in V tal que 0_V+v=v para todo v\in V.\n
  5. Existência de inversos aditivos: para todo v\in V existe -v\in V tal que v+(-v)=0_V.\n
  6. Fechamento por multiplicação por escalar: para todo c\in\mathbb{R} e v\in V, c v\in V.\n
  7. Compatibilidade da multiplicação escalar: para todo c,d\in\mathbb{R} e v\in V, c(dv)=(cd)v.\n
  8. Elemento neutro escalar: para todo v\in V, 1 v = v.\n
  9. Distributividade em relação à adição de vetores: para todo c\in\mathbb{R} e u,v\in V, c(u+v)=cu+cv.\n
  10. Distributividade em relação à soma de escalares: para todo c,d\in\mathbb{R} e v\in V, (c+d)v=cv+dv.\n
    Agora vou checar cada um desses axiomas no nosso \mathbb{R}^2 com as operações dadas, explicando cada passo com calma.

Passo 3

Axioma 1 — Fechamento por adição.\n
Pegar (x_1,y_1),(x_2,y_2)\in\mathbb{R}^2. A soma definida é
(x_1,y_1)+(x_2,y_2)=(x_1 x_2,\; y_1 y_2).
Como x_1 x_2 e y_1 y_2 são números reais, o par (x_1 x_2,y_1 y_2) pertence a \mathbb{R}^2. Portanto a operação está fechada em \mathbb{R}^2.\n
Conclusão: Axioma 1 é satisfeito.

Passo 4

Axioma 2 — Comutatividade da adição.\n
A soma é componente a componente por multiplicação real. Como a multiplicação de números reais é comutativa,
(x_1,y_1)+(x_2,y_2)=(x_1 x_2,\; y_1 y_2)=(x_2 x_1,\; y_2 y_1)=(x_2,y_2)+(x_1,y_1).
Conclusão: Axioma 2 é satisfeito.

Passo 5

Axioma 3 — Associatividade da adição.\n
Para u=(x_1,y_1),\; v=(x_2,y_2),\; w=(x_3,y_3),
(u+v)+w = (x_1 x_2,\; y_1 y_2) + (x_3,y_3) = (x_1 x_2 x_3,\; y_1 y_2 y_3),
u+(v+w) = (x_1,y_1) + (x_2 x_3,\; y_2 y_3) = (x_1 x_2 x_3,\; y_1 y_2 y_3).
Como a multiplicação real é associativa, os dois lados coincidem.\n
Conclusão: Axioma 3 é satisfeito.

Passo 6

Axioma 4 — Existência do elemento neutro aditivo (vetor zero).\n
Procuramos 0_V=(e_1,e_2)\in\mathbb{R}^2 tal que para todo (x,y) valha
(e_1,e_2)+(x,y)=(x,y).
Pela definição da soma isto é
(e_1 x,\; e_2 y)=(x,y).
Para isso precisamos que e_1 x = x e e_2 y = y para todo x,y\in\mathbb{R}. Isso exige e_1=1 e e_2=1. Portanto
0_V=(1,1).
Verificação direta: (1,1)+(x,y)=(1\cdot x,\;1\cdot y)=(x,y).\n
Conclusão: existe elemento neutro aditivo 0_V=(1,1). Axioma 4 é satisfeito.

Passo 7

Axioma 5 — Existência de inversos aditivos.\n
Dado v=(x,y), precisamos de w=(u,v') (vou usar w=(u_1,u_2) para não confundir) tal que
(x,y)+(u_1,u_2)=(1,1).
Pela definição,
(x u_1,\; y u_2)=(1,1).
Isso é equivalente a u_1=1/x e u_2=1/y. Porém esses números 1/x e 1/y existem somente quando x\neq 0 e y\neq 0. Se alguma coordenada de v for zero, não existe u_1 (ou u_2) que satisfaça x u_1 = 1 (pois 0\cdot u_1 = 0\neq 1).\n
Exemplo explícito: para v=(0,2) não existe w\in\mathbb{R}^2 com (0,2)+w=(1,1) porque a primeira coordenada exigiria 0\cdot u_1=1, impossível.\n
Conclusão: Nem todo vetor tem inverso aditivo. Axioma 5 falha (é falso).

Passo 8

Axioma 6 — Fechamento por multiplicação por escalar.\n
Para c\in\mathbb{R} e (x,y)\in\mathbb{R}^2,
c(x,y)=(c x,\; c y),
e (c x,c y)\in\mathbb{R}^2 porque são números reais. Portanto a operação de multiplicação por escalar é fechada.\n
Conclusão: Axioma 6 é satisfeito.

Passo 9

Axioma 7 — Compatibilidade da multiplicação escalar: c(dv)=(cd)v.\n
Tomando v=(x,y),
d v = (d x,\; d y),
c(d v)=c(d x,\; d y)=(c d x,\; c d y).
E
(cd)v = (cd x,\; cd y).
Os dois são exatamente iguais. Isso ocorre porque a multiplicação real é associativa e a multiplicação escalar é a multiplicação usual em cada componente.\n
Conclusão: Axioma 7 é satisfeito.

Passo 10

Axioma 8 — Identidade escalar: 1 v = v.\n
Para v=(x,y),
1\cdot (x,y)=(1\cdot x,\;1\cdot y)=(x,y).
Conclusão: Axioma 8 é satisfeito.

Passo 11

Axioma 9 — Distributividade do escalar sobre soma de vetores: c(u+v)=cu+cv.\n
Sejam u=(x_1,y_1) e v=(x_2,y_2). Calculemos os dois lados.\n
LADO ESQUERDO:
u+v=(x_1 x_2,\; y_1 y_2),
c(u+v)= (c x_1 x_2,\; c y_1 y_2).
LADO DIREITO:
cu=(c x_1,\; c y_1),\qquad cv=(c x_2,\; c y_2),
cu+cv = (c x_1,\; c y_1)+(c x_2,\; c y_2) = (c x_1\cdot c x_2,\; c y_1\cdot c y_2) = (c^2 x_1 x_2,\; c^2 y_1 y_2).
Comparando,
c(u+v)=(c x_1 x_2,\; c y_1 y_2),\qquad cu+cv=(c^2 x_1 x_2,\; c^2 y_1 y_2).
Os dois só coincidem para todos u,v se c=c^2 para todo c, o que é falso (por exemplo para c=2 não vale).\n
Exemplo numérico rápido: tome c=2, u=(1,1), v=(3,4).\n
Lado esquerdo: u+v=(3,4), 2(u+v)=(6,8).\n
Lado direito: 2u=(2,2), 2v=(6,8), (2u)+(2v)=(2\cdot 6,\;2\cdot 8)=(12,16). Claramente (6,8)\neq(12,16).\n
Conclusão: Axioma 9 falha em geral.

Passo 12

Axioma 10 — Distributividade da soma de escalares sobre o vetor: (c+d)v=cv+dv.\n
Para v=(x,y),
(c+d)v = ((c+d)x,\; (c+d)y).
Por outro lado,
cv=(c x,\; c y),\qquad dv=(d x,\; d y),
cv+dv=(c x,\; c y)+(d x,\; d y)=(c x\cdot d x,\; c y\cdot d y)=(c d x^2,\; c d y^2).
Comparando, (c+d)x vs c d x^2 não são iguais em geral. Exemplo: escolha c=d=1 e v=(2,3).\n
(c+d)v = 2(2,3)=(4,6),
cv+dv = (1\cdot 2,\;1\cdot 3)+(1\cdot 2,\;1\cdot 3)=(2\cdot 2,\;3\cdot 3)=(4,9).
Temos (4,6)\neq(4,9). Logo o axioma 10 falha.\n
Conclusão: Axioma 10 é falso.

Passo 13

Resumo do que ocorreu (tomando um tom amigo): várias propriedades básicas funcionam porque a adição é só multiplicação real em cada coordenada e a multiplicação escalar é a usual. Especificamente, os axiomas 1, 2, 3, 4, 6, 7 e 8 são satisfeitos. Contudo dois tipos importantes de axiomas falham: o axioma de existência de inversos aditivos (5) e as duas distributividades relacionadas ao escalar (9 e 10). Por isso a estrutura não é um espaço vetorial. Também dá para ver uma contradição intuitiva: em um espaço vetorial 0\cdot v deve ser o vetor zero aditivo; aqui 0\cdot v=(0,0) enquanto o zero aditivo é (1,1), então propriedades esperadas não se mantêm — mais um sinal de que não é espaço vetorial.

Resposta

Não é um espaço vetorial. Axiomas que não são válidos: existência de inverso aditivo (nem todo v tem -v), distributividade c(u+v)=cu+cv e distributividade (c+d)v=cv+dv.

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