QUESTÃO 2
Fonte:
Elementos de Álgebra Linear (2017) - Ron Larson, capítulo 4, p. 173, questão 5.
Enunciado
Verifique que W é um subespaço de V . Suponha que V tenha as operações usuais. W é o conjunto de todas as funções que são contínuas em
. V é o espaço vetorial de todas as funções que são integráveis em
.
| QUESTÃO 2 | |
| Fonte: | Elementos de Álgebra Linear (2017) - Ron Larson, capítulo 4, p. 173, questão 5. |
| Enunciado | Verifique que W é um subespaço de V . Suponha que V tenha as operações usuais. W é o conjunto de todas as funções que são contínuas em
|
Passo 1
O enunciado pede para verificar que
é um subespaço de
. As informações dadas são:
com as operações usuais (adição ponto-a-ponto e multiplicação por escalar).
Pergunta: Mostrar que
é um subespaço de
(ou seja, verificar que
e que
é fechado sob adição e multiplicação por escalar, contendo o vetor zero).
Passo 2
Lembrete do que significa “ser subespaço” (vou explicar passo a passo):
- Primeiro precisamos que
(todas as funções de pertençam a ). - Depois, para qualquer
e qualquer escalar (ou , dependendo do espaço), devemos ter e . - Também é suficiente mostrar que
é não vazio e que é fechado sob soma e multiplicação por escalar; então conterá o vetor zero automaticamente (ou podemos mostrar explicitamente que o zero pertence).
Vou provar cada uma dessas propriedades com detalhes e justificativas.
Passo 3
Mostrar que
: por que toda função contínua em
é integrável em
?
- Teorema conhecido: toda função contínua num intervalo fechado e limitado (compacto) é Riemann-integrável nesse intervalo.
- Explicação didática e intuitiva: se
é contínua em , então, por ser um conjunto compacto, é uniformemente contínua (teorema de Heine–Cantor). Uniforme continuidade significa: para todo existe tal que, para quaisquer , se então . - Como consequência prática, podemos escolher uma partição do intervalo
com subintervalos de comprimento menor que . Em cada subintervalo a variação de é menor que , e isso faz com que as somas superior e inferior de Riemann fiquem arbitrariamente próximas, provando integrabilidade.
Conclusão deste passo: seentão é integrável em , logo . Portanto .
Passo 4
Verificar que
não é vazio e contém o vetor zero:
- Defina a função zero
por para todo . - A função constante zero é contínua em todo
(valores não mudam, portanto para qualquer qualquer serve). - Logo
. Assim é não vazio e contém o vetor zero de .
Passo 5
Fechamento por adição: se
, então
.
- Quero provar que a soma de duas funções contínuas é contínua (num ponto e, portanto, em todo o intervalo).
- Prova ponto a ponto (epsilon-delta): fixe um ponto
e seja . - Como
é contínua em , existe tal que implica . - Como
é contínua em , existe tal que implica . - Tome
. Se então ambos os desvios são menores que . - Então
- Isso mostra que
é contínua em . Como foi arbitrário, é contínua em todo .
- Como
- Portanto
. Assim é fechado sob soma.
Passo 6
Fechamento por multiplicação por escalar: se
e
é um escalar, então
.
- Prova ponto a ponto (epsilon-delta):
- Tome
e . - Se
então é a função zero, contínua; fim. - Se
, como é contínua em , existe tal que implica . - Então para
temos - Assim
é contínua em , e como foi arbitrário, é contínua em .
- Tome
- Conclusão:
. Portanto é fechado sob multiplicação por escalar.
Passo 7
Resumo das verificações e conclusão lógica:
- Mostrei que
(toda função contínua em é integrável em ). - Mostrei que
contém o vetor zero. - Mostrei que
é fechado sob soma e sob multiplicação por escalar.
Essas três propriedades (não vazio + fechamento por soma e por escalares) garantem queé um subespaço do espaço vetorial com as operações usuais.
Passo 8
Pequena observação prática (para a prova): exemplos que ajudam a fixar a ideia:
- Funções contínuas (pertencem a
e logo a ): . - Função integrável mas não contínua (pertence a
mas não a ): a função degrau que vale para e para é integrável em mas não é contínua em .
Isso ajuda a entender a inclusão própria.