QUESTÃO 2
Fonte: Elementos de Álgebra Linear (2017) - Ron Larson, capítulo 4, p. 173, questão 5.
Enunciado Verifique que W é um subespaço de V . Suponha que V tenha as operações usuais. W é o conjunto de todas as funções que são contínuas em [-1,1]. V é o espaço vetorial de todas as funções que são integráveis em [-1,1].

Passo 1

O enunciado pede para verificar que W é um subespaço de V. As informações dadas são:
V=\{\text{todas as funções integráveis em }[-1,1]\},çõá
com as operações usuais (adição ponto-a-ponto e multiplicação por escalar).
W=\{\text{todas as funções contínuas em }[-1,1]\}.çõí
Pergunta: Mostrar que W é um subespaço de V (ou seja, verificar que W\subseteq V e que W é fechado sob adição e multiplicação por escalar, contendo o vetor zero).

Passo 2

Lembrete do que significa “ser subespaço” (vou explicar passo a passo):
  • Primeiro precisamos que W\subseteq V (todas as funções de W pertençam a V).
  • Depois, para qualquer f,g\in W e qualquer escalar \alpha\in\mathbb{R} (ou \mathbb{C}, dependendo do espaço), devemos ter f+g\in W e \alpha f\in W.
  • Também é suficiente mostrar que W é não vazio e que é fechado sob soma e multiplicação por escalar; então W conterá o vetor zero automaticamente (ou podemos mostrar explicitamente que o zero pertence).
    Vou provar cada uma dessas propriedades com detalhes e justificativas.

Passo 3

Mostrar que W\subseteq V: por que toda função contínua em [-1,1] é integrável em [-1,1]?
  • Teorema conhecido: toda função contínua num intervalo fechado e limitado (compacto) é Riemann-integrável nesse intervalo.
  • Explicação didática e intuitiva: se f é contínua em [-1,1], então, por ser um conjunto compacto, f é uniformemente contínua (teorema de Heine–Cantor). Uniforme continuidade significa: para todo \varepsilon>0 existe \delta>0 tal que, para quaisquer x,y\in[-1,1], se |x-y|<\delta então |f(x)-f(y)|<\varepsilon.
  • Como consequência prática, podemos escolher uma partição do intervalo [-1,1] com subintervalos de comprimento menor que \delta. Em cada subintervalo a variação de f é menor que \varepsilon, e isso faz com que as somas superior e inferior de Riemann fiquem arbitrariamente próximas, provando integrabilidade.
    Conclusão deste passo: se f\in W então f é integrável em [-1,1], logo f\in V. Portanto W\subseteq V.

Passo 4

Verificar que W não é vazio e contém o vetor zero:
  • Defina a função zero \,z por \,z(x)=0 para todo x\in[-1,1].
  • A função constante zero é contínua em todo [-1,1] (valores não mudam, portanto para qualquer \varepsilon>0 qualquer \delta>0 serve).
  • Logo z\in W. Assim W é não vazio e contém o vetor zero de V.

Passo 5

Fechamento por adição: se f,g\in W, então f+g\in W.
  • Quero provar que a soma de duas funções contínuas é contínua (num ponto e, portanto, em todo o intervalo).
  • Prova ponto a ponto (epsilon-delta): fixe um ponto a\in[-1,1] e seja \varepsilon>0.
    • Como f é contínua em a, existe \delta_1>0 tal que |x-a|<\delta_1 implica |f(x)-f(a)|<\varepsilon/2.
    • Como g é contínua em a, existe \delta_2>0 tal que |x-a|<\delta_2 implica |g(x)-g(a)|<\varepsilon/2.
    • Tome \delta=\min(\delta_1,\delta_2). Se |x-a|<\delta então ambos os desvios são menores que \varepsilon/2.
    • Então |(f+g)(x)-(f+g)(a)| \le |f(x)-f(a)| + |g(x)-g(a)| < \tfrac{\varepsilon}{2} + \tfrac{\varepsilon}{2} = \varepsilon.
    • Isso mostra que f+g é contínua em a. Como a foi arbitrário, f+g é contínua em todo [-1,1].
  • Portanto f+g\in W. Assim W é fechado sob soma.

Passo 6

Fechamento por multiplicação por escalar: se f\in W e \alpha é um escalar, então \alpha f\in W.
  • Prova ponto a ponto (epsilon-delta):
    • Tome a\in[-1,1] e \varepsilon>0.
    • Se \alpha=0 então \alpha f é a função zero, contínua; fim.
    • Se \alpha\neq 0, como f é contínua em a, existe \delta>0 tal que |x-a|<\delta implica |f(x)-f(a)|<\varepsilon/|\alpha|.
    • Então para |x-a|<\delta temos |(\alpha f)(x)-(\alpha f)(a)| = |\alpha|\,|f(x)-f(a)| < |\alpha| \cdot \frac{\varepsilon}{|\alpha|} = \varepsilon.
    • Assim \alpha f é contínua em a, e como a foi arbitrário, \alpha f é contínua em [-1,1].
  • Conclusão: \alpha f\in W. Portanto W é fechado sob multiplicação por escalar.

Passo 7

Resumo das verificações e conclusão lógica:
  • Mostrei que W\subseteq V (toda função contínua em [-1,1] é integrável em [-1,1]).
  • Mostrei que W contém o vetor zero.
  • Mostrei que W é fechado sob soma e sob multiplicação por escalar.
    Essas três propriedades (não vazio + fechamento por soma e por escalares) garantem que W é um subespaço do espaço vetorial V com as operações usuais.

Passo 8

Pequena observação prática (para a prova): exemplos que ajudam a fixar a ideia:
  • Funções contínuas (pertencem a W e logo a V): \,f(x)=x^2,\; g(x)=\sin(x),\; h(x)=1.
  • Função integrável mas não contínua (pertence a V mas não a W): a função degrau que vale -1 para x<0 e 1 para x\ge0 é integrável em [-1,1] mas não é contínua em x=0.
    Isso ajuda a entender a inclusão própria W\subseteq V.

Resposta

W é um subespaço de V.

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