Questão 38 (UNIMONTES / 2007)
Os possíveis valores da expressão
, onde i é a unidade imaginária e
, são:
a) 0 e 2
b)
-\mathrm{i}, 0 \mathrm{e} \mathrm{i}
c)
e 2
d)
-2,0 e 2
Os possíveis valores da expressão
a) 0 e 2
b)
-\mathrm{i}, 0 \mathrm{e} \mathrm{i}
c)
d)
-2,0 e 2
Passo 1
O enunciado dá a expressão
, onde
é a unidade imaginária (
) e
.
A pergunta é: quais são os possíveis valores de quando
varia pelos naturais?
Também temos as alternativas (a), (b), (c) e (d) para comparar no final.
A pergunta é: quais são os possíveis valores de
Também temos as alternativas (a), (b), (c) e (d) para comparar no final.
Passo 2
Primeiro vamos lembrar uma propriedade fundamental de
: as potências de
são periódicas de período
, porque
e então
para todo
.
Isso significa que, para saber , basta olhar para o resto da divisão de
por
(ou seja,
).
Isso significa que, para saber
Passo 3
Agora precisamos também saber como calcular
. Vamos ver os casos básicos de recíprocos:
-
. -
. - Para
podemos racionalizar multiplicando numerador e denominador por : logo . - Para
segue que .
Esses quatro recíprocos bastam porque
só pode ser um dos quatro valores
.
Passo 4
Vamos avaliar
para cada caso de
.
Caso
: então
.
Caso
: então
. Pelo cálculo anterior
.
Caso
: então
.
Caso
: então
. Pelo cálculo anterior
.
Passo 5
Juntando os casos, os valores possíveis de
são
,
e
. Comparando com as alternativas dadas, isso corresponde à alternativa (d).
Resposta
(d)