Questão 38 (UNIMONTES / 2007)
Os possíveis valores da expressão
A=i^{n}+\frac{1}{i^{n}}, onde i é a unidade imaginária e \mathrm{n} \in \mathrm{IN}, são:
a) 0 e 2
b)
-\mathrm{i}, 0 \mathrm{e} \mathrm{i}
c) 1 \pm i, 0 e 2
d)
-2,0 e 2

Passo 1

O enunciado dá a expressão A = i^{n} + \dfrac{1}{i^{n}}, onde i é a unidade imaginária ( i^2 = -1) e n \in \mathbb{N}.
A pergunta é: quais são os possíveis valores de A quando n varia pelos naturais?
Também temos as alternativas (a), (b), (c) e (d) para comparar no final.

Passo 2

Primeiro vamos lembrar uma propriedade fundamental de i: as potências de i são periódicas de período 4, porque
i^1 = i,\qquad i^2 = -1,\qquad i^3 = -i,\qquad i^4 = 1,
e então i^{n+4} = i^n para todo n.
Isso significa que, para saber i^n, basta olhar para o resto da divisão de n por 4 (ou seja, n \bmod 4).

Passo 3

Agora precisamos também saber como calcular \dfrac{1}{i^n}. Vamos ver os casos básicos de recíprocos:
  • \dfrac{1}{1}=1.
  • \dfrac{1}{-1}=-1.
  • Para \dfrac{1}{i} podemos racionalizar multiplicando numerador e denominador por i: \dfrac{1}{i} \cdot \dfrac{i}{i} = \dfrac{i}{i^2} = \dfrac{i}{-1} = -i,logo \dfrac{1}{i} = -i.
  • Para \dfrac{1}{-i} segue que \dfrac{1}{-i} = -\dfrac{1}{i} = -(-i) = i.
Esses quatro recíprocos bastam porque i^n só pode ser um dos quatro valores 1,i,-1,-i.

Passo 4

Vamos avaliar A para cada caso de n \bmod 4.
Caso n \equiv 0 \pmod{4}: então i^n = 1.
A = 1 + \dfrac{1}{1} = 1 + 1 = 2.
Caso n \equiv 1 \pmod{4}: então i^n = i. Pelo cálculo anterior \dfrac{1}{i} = -i.
A = i + \left(-i\right) = 0.
Caso n \equiv 2 \pmod{4}: então i^n = -1.
A = -1 + \dfrac{1}{-1} = -1 + (-1) = -2.
Caso n \equiv 3 \pmod{4}: então i^n = -i. Pelo cálculo anterior \dfrac{1}{-i} = i.
A = -i + i = 0.

Passo 5

Juntando os casos, os valores possíveis de A são -2, 0 e 2. Comparando com as alternativas dadas, isso corresponde à alternativa (d).

Resposta

(d)

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