(Questão 03) [2,0 pontos] Escreva a matriz de mudança da base E=(e1, e2, e3) para a base F=(f1, f2, f3) e exprima o vetor u=-4 f1+f2-f3 em função de e1, e2, e3, sabendo que f1=e3-e1, f2=3 e1 e f3=3 e2-4 e1.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: (i) montar a matriz de mudança de base de para , e (ii) expressar o vetor na base . O conteúdo aqui é mudança de base em espaços vetoriais finitos, usando coordenadas e multiplicação de matrizes.

Passo 2

Primeiro, vamos anotar as coordenadas de cada em relação à base . Como
temos

Passo 3

A matriz de mudança de base de para (denotada aqui por ) é a matriz cujas colunas são exatamente , e . Assim,
Essa matriz satisfaz para qualquer vetor .

Passo 4

O vetor vec u tem coordenadas na base F dadas por
[vec u]F = -41-1
Para obter as coordenadas em E, basta multiplicar:
[vec u]E ;=; M,[vec u]F = -1 & 3 & -4 0 & 0 & 3 1 & 0 & 0 -41-1 = (-1)(-4)+3cdot1+(-4)(-1) 0cdot(-4)+0cdot1+3cdot(-1) 1cdot(-4)+0cdot1+0cdot(-1) = 11-3-4

Passo 5

Isso significa

Resposta

Matriz de mudança de base de para :
Expressão de na base :

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