(Questão 03) [2,0 pontos] Escreva a matriz de mudança da base para a base F=(f1, f2, f3) e exprima o vetor u=-4 f1+f2-f3 em função de e1, e2, e3, sabendo que f1=e3-e1, f2=3 e1 e f3=3 e2-4 e1.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: (i) montar a matriz de mudança de base de para , e (ii) expressar o vetor na base . O conteúdo aqui é mudança de base em espaços vetoriais finitos, usando coordenadas e multiplicação de matrizes.
Passo 2
Primeiro, vamos anotar as coordenadas de cada em relação à base . Como
temos
Passo 3
A matriz de mudança de base de para (denotada aqui por ) é a matriz cujas colunas são exatamente , e . Assim,
Essa matriz satisfaz para qualquer vetor .
Passo 4
O vetor vec u tem coordenadas na base F dadas por
[vec u]F = -41-1
Para obter as coordenadas em E, basta multiplicar: