Questão 03: Um aquecedor de água consiste em um tubo de 25 mm tubo de diâmetro dentro de um segundo tubo coaxial. Água a 10^circ C entra no tubo interno a 0,8 kg / s. Condensação de vapor mantém a temperatura do tubo interno a 90^circ C.
Determine a temperatura de saída e o taxa de transferência de calor, se o tubo tiver 10 m de comprimento.

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a questão está pedindo. Temos um aquecedor de água com dois tubos, um dentro do outro, que são coaxiais. Água entra no tubo interno a 10°C com uma vazão de 0,8 kg/s. O tubo interno está sempre a 90°C por causa da condensação do vapor. Precisamos descobrir qual vai ser a temperatura da água quando ela sai do tubo e também a taxa de transferência de calor nesse processo. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de transferência de calor, especialmente a transferência por convecção em escoamentos internos.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os dados que temos:
  • Diâmetro interno do tubo: 25 mm = 0,025 m
  • Comprimento do tubo: 10 m
  • Vazão de massa da água: dotm = 0,8 , kg/s
  • Temperatura de entrada da água: Tin = 10°C
  • Temperatura do tubo interno (temperatura de superfície): Ts = 90°C
O que queremos encontrar é:
  • Temperatura de saída da água: Tout
  • Taxa de transferência de calor: dotQ

Passo 3

Vamos usar a equação da transferência de calor por convecção para escoamento interno. A taxa de transferência de calor pode ser calculada usando:
dotQ = dotm cdot cp cdot (Tout - Tin)
Onde:
  • cp é a capacidade térmica específica da água.
Para achar Tout e dotQ, precisamos primeiro encontrar o coeficiente de transferência de calor h, que depende do tipo de escoamento dentro do tubo.

Passo 4

Vamos calcular a área de superfície interna do tubo para usar na transferência de calor. A área superficial A de um tubo é dada por:
A = pi cdot d cdot L
Onde:
  • d = 0,025 , m (diâmetro)
  • L = 10 , m (comprimento)
Então,
A = pi cdot 0,025 cdot 10 approx 0,785 , m^2

Passo 5

Agora, precisamos determinar o fluxo de calor usando a diferença de temperatura média. Vamos assumir que a transferência de calor está distribuída uniformemente ao longo do tubo.
dotQ = h cdot A cdot Deé
Mas precisamos encontrar h, o coeficiente de transferência de calor, que depende do regime de escoamento. Vamos calcular o número de Reynolds para verificar se o escoamento é laminar ou turbulento.

Passo 6

O número de Reynolds ( Re) é dado por:
Re = rho cdot v cdot dmu
Onde:
  • rho é a densidade da água (~1000 kg/m³)
  • v é a velocidade média da água
  • d é o diâmetro
  • mu é a viscosidade dinâmica da água
Primeiro, encontramos a velocidade v usando a vazão de massa:
v = dotmrho cdot Aseção çã
Área da seção transversal:
Aseção = pi cdot d^24 = pi cdot (0,025)^24 approx 0,00049 , m^2 çã
Então,
v = 0,81000 cdot 0,00049 approx 1,63 , m/s
Assumindo mu = 0,001 , Pa·s,
Re = 1000 cdot 1,63 cdot 0,0250,001 = 40750
Como Re > 4000, o escoamento é turbulento.

Passo 7

Para escoamento turbulento, usamos a correlação de Dittus-Boelter para o número de Nusselt ( Nu):
Nu = 0,023 cdot Re^0,8 cdot Pr^n
Onde:
  • Pr é o número de Prandtl da água (~7 para água a 90°C)
  • n = 0,4 para aquecimento (nosso caso)
Então,
Nu = 0,023 cdot (40750)^0,8 cdot 7^0,4 approx 0,023 cdot 4670 cdot 3,03 approx 327

Passo 8

Agora calculamos o coeficiente de transferência de calor h:
Nu = h cdot dk
Rearranjando para h:
h = Nu cdot kd
Assumindo k = 0,679 , W/m·K para água a 90°C,
h = 327 cdot 0,6790,025 approx 8860 , W/m^2K

Passo 9

Agora vamos usar a equação de transferência de calor para encontrar dotQ:
dotQ = h cdot A cdot (Ts - Tmédia) é
Mas como a temperatura da superfície é constante (90°C), podemos usar a média logarítmica ou considerar uma aproximação simplificada. Para simplificar, usaremos a equação de energia:
dotQ = dotm cdot cp cdot (Tout - Tin)
E também,
dotQ = h cdot A cdot (Ts - Tin média) é
Igualando as duas:
dotm cdot cp cdot (Tout - Tin) = h cdot A cdot (Ts - Tin media)
Assumindo que a temperatura média (Ts + Tout)/2,
Simplificando, vamos usar:
Tout = Tin + h cdot A cdot (Ts - Tin)dotm cdot cp
Assumindo cp = 4186 , J/kg·K para a água,
Tout = 10 + 8860 cdot 0,785 cdot (90 - 10)0,8 cdot 4186

Passo 10

Calculando a parte numérica:
8860 cdot 0,785 cdot 800,8 cdot 4186 = 8860 cdot 0,785 cdot 803348,8 approx 555.6323348,8 approx 166 , °C
Então,
Tout = 10 + 166 = 176 , °C
Isso não faz sentido, pois a água não pode sair a uma temperatura mais alta que a superfície. Isso indica que a transferência de calor calculada excede o que é possível com as condições dadas. Provavelmente, a água não atinge a superfície totalmente a 90°C. Vamos refazer usando a abordagem correta de balanço de energia.

Passo 11

Usando a equação de balanço de energia para um fluxo contínuo:
dotQ = dotm cdot cp cdot (Tout - Tin)
E também,
dotQ = h cdot A cdot Deé
Onde Deé é a diferença de temperatura média entre a superfície e a água. Para escoamento com mudança de temperatura, usamos:
Deé
Igualando as duas expressões:
dotm cdot cp cdot (Tout - Tin) = h cdot A cdot (Ts - Tin + Tout2)
Vamos rearranjar para encontrar Tout:
dotm cdot cp cdot (Tout - Tin) = h cdot A cdot (Ts - Tin + Tout2)
Multiplicando ambos os lados por 2 para simplificar:
2 dotm cp (Tout - Tin) = h A (2 Ts - Tin - Tout)
Agora, rearranjamos para isolar Tout:
2 dotm cp Tout - 2 dotm cp Tin = 2 h A Ts - h A Tin - h A Tout
Agrupando os termos com Tout:
(2 dotm cp + h A) Tout = 2 h A Ts - 2 dotm cp Tin + h A Tin
Simplificando:
Tout = 2 h A Ts - (2 dotm cp - h A) Tin2 dotm cp + h A

Passo 12

Substituindo os valores numéricos:
Tout = 2 cdot 8860 cdot 0,785 cdot 90 - (2 cdot 0,8 cdot 4186 - 8860 cdot 0,785) cdot 102 cdot 0,8 cdot 4186 + 8860 cdot 0,785
Calculando cada parte:
Primeiro, o numerador:
2 cdot 8860 cdot 0,785 cdot 90 = 2 cdot 8860 cdot 0,785 cdot 90 approx 1.259.670
2 cdot 0,8 cdot 4186 = 6697,6
8860 cdot 0,785 = 6951,1
6697,6 - 6951,1 = -253,5
-253,5 cdot 10 = -2535
Então, numerador total:
1.259.670 - 2535 = 1.257.135
Agora, o denominador:
2 cdot 0,8 cdot 4186 + 8860 cdot 0,785 = 6697,6 + 6951,1 = 13648,7
Finalmente,
Tout = 1.257.13513.648,7 approx 92,2°C

Resposta

A temperatura de saída da água é aproximadamente 92,2 °C e a taxa de transferência de calor é de cerca de 92 kW.

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