QUESTÃO 03:

Calcular o diâmetro de um tubo de aço ( \varepsilon=4,6 \times 10^{-5} \mathrm{~m} ) que deverá transportar uma vazão de 19 \mathrm{~L} / \mathrm{s} de querosene ( v=3 \times 10^{-6} \mathrm{~m}^{2} / \mathrm{s} ) a uma distância de 600 m , com uma perda de carga de 3 m .
Resp: D=0,167 \mathrm{~m}.

Passo 1

O problema pede o diâmetro D de um tubo de aço de rugosidade \varepsilon = 4,6\times10^{-5}\,\mathrm{m} que transporta vazão Q=19\,\mathrm{L/s}=0,019\,\mathrm{m^3/s} de querosene (viscosidade cinemática \nu=3\times10^{-6}\,\mathrm{m^2/s}) sobre comprimento L=600\,\mathrm{m} com perda de carga h_f=3\,\mathrm{m}. Vamos usar a equação de Darcy–Weisbach para perda de carga e a equação de Colebrook (no formato explícito de Swamee–Jain) para encontrar o fator de atrito f e, daí, D.

Passo 2

A equação de Darcy–Weisbach é
h_f = f\,\frac{L}{D}\,\frac{v^2}{2g}
e a velocidade média v é
v = \frac{4Q}{\pi D^2}.
Substituindo v em h_f e isolando D^5 obtemos
3 = f\,\frac{600}{D}\,\frac{\bigl(\tfrac{4\cdot0,019}{\pi D^2}\bigr)^2}{2\cdot9,81} \quad\Longrightarrow\quad D^5 = f\,\frac{8\,L\,Q^2}{\pi^2\,g\,h_f}.

Passo 3

Fazemos um palpite inicial para f, por exemplo f_0=0,02. Então
D_0 = \biggl(0,02\,\frac{8\cdot600\cdot(0,019)^2}{\pi^2\cdot9,81\cdot3}\biggr)^{1/5} \approx 0,164\,\mathrm{m}.

Passo 4

Com D_0 calculamos
v_0 = \frac{4\cdot0,019}{\pi(0,164)^2}\approx 0,90\,\mathrm{m/s}, \quad \mathrm{Re}_0 = \frac{v_0D_0}{\nu}\approx 4{,}9\times10^4, \quad \frac{\varepsilon}{D_0}\approx2{,}8\times10^{-4}.
Usando Swamee–Jain:
f_1 = 0,25\biggl[\log_{10}\Bigl(\frac{\varepsilon}{3,7D_0}+\frac{5,74}{\mathrm{Re}_0^{0,9}}\Bigr)\biggr]^{-2} \approx 0,022.

Passo 5

Recalcula-se
D_1 = \biggl(0,022\,\frac{8\cdot600\cdot(0,019)^2}{\pi^2\cdot9,81\cdot3}\biggr)^{1/5} \approx0,167\,\mathrm{m}.
Como mudou pouco em relação a D_0, consideramos convergido.

Resposta

D = 0,167\,\mathrm{m}

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