QUESTÃO 02:

Um conduto de ferro fundido novo revestido internamente ( \varepsilon=0,15 \mathrm{~mm} ), com diâmetro de 100 mm e 75 m de extensão é submetido a uma vazão que produz uma perda de carga de 35 m . Determinar a velocidade média, a vazão escoada, o número de Reynolds e o fator de perda de carga f (vágua= 1,01 \times 10^{-6} \mathrm{~m}^{2} / \mathrm{s} ).
Resp: v=6,42 \mathrm{~m} / \mathrm{s} ; Q=0,0505 \mathrm{~m}^{3} / \mathrm{s} ; R e=6,36 \times 10^{5} ; f=0,022.

Passo 1

O enunciado dá um escoamento em um tubo de diâmetro D=0,100\\ \mathrm{m}, comprimento L=75\\ \mathrm{m}, rugosidade absoluta \varepsilon=0,00015\\ \mathrm{m}, viscosidade cinemática \nu=1,01\times10^{-6}\\ \mathrm{m}^2/\mathrm{s} e perda de carga total h_f=35\\ \mathrm{m}. Queremos encontrar a velocidade média v, vazão Q, número de Reynolds \mathrm{Re} e fator de atrito f. Vamos usar a equação de Darcy–Weisbach e a fórmula de Colebrook (ou sua forma explícita de Swamee–Jain) para tratar o atrito em tubulações rugosas.

Passo 2

A equação de Darcy–Weisbach relaciona perda de carga e velocidade:
h_f = f\,\frac{L}{D}\,\frac{v^2}{2g},
onde g=9,81\\ \mathrm{m/s}^2. Note que f depende de \mathrm{Re}=\dfrac{vD}{\nu} e da rugosidade relativa \varepsilon/D.

Passo 3

Para fechar o sistema usamos a fórmula explícita de Swamee–Jain, que aproxima a equação implícita de Colebrook:
f = 0,25 \biggl[\log_{10}\Bigl(\frac{\varepsilon}{3,7D} + \frac{5{,}74}{\mathrm{Re}^{0,9}}\Bigr)\biggr]^{-2}.

Passo 4

Fazemos um palpite inicial de f_0\approx0{,}02 e calculamos
v_0 = \sqrt{\frac{2g\,h_f\,D}{f_0\,L}} = \sqrt{\frac{2\cdot9{,}81\cdot35\cdot0{,}1}{0{,}02\cdot75}} \approx6{,}77\\ \mathrm{m/s}.

Passo 5

Com v_0 achamos o número de Reynolds
\mathrm{Re}_0 = \frac{v_0\,D}{\nu} \approx\frac{6{,}77\cdot0{,}1}{1{,}01\times10^{-6}} \approx6,71\times10^{5}.

Passo 6

Calculamos f_1 pela fórmula de Swamee–Jain usando \mathrm{Re}_0:
\frac{\varepsilon}{3,7D}=\frac{0{,}00015}{3,7\cdot0{,}1}\approx4,05\times10^{-4},\quad \frac{5{,}74}{\mathrm{Re}_0^{0,9}}\approx3,28\times10^{-5},
f_1 = 0,25\bigl[\log_{10}(4,05\times10^{-4}+3,28\times10^{-5})\bigr]^{-2} \approx0{,}02215.

Passo 7

Repetimos:
v_1 = \sqrt{\frac{2\cdot9{,}81\cdot35\cdot0{,}1}{0{,}02215\cdot75}} \approx6{,}43\\ \mathrm{m/s},\quad \mathrm{Re}_1 = \frac{6{,}43\cdot0{,}1}{1{,}01\times10^{-6}} \approx6,36\times10^{5}.

Passo 8

Com \mathrm{Re}_1 recalculamos f_2 e vemos que converge para
f \approx0{,}0222.

Passo 9

Finalmente, a vazão média é
Q = A\,v = \frac{\pi D^2}{4}\,v = \frac{\pi\,(0{,}1)^2}{4}\times6{,}43 \approx0{,}0505\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{s}.

Resposta

v = 6,42\\ \mathrm{m/s} Q = 0,0505\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{s} \mathrm{Re} = 6,36\times10^{5} f = 0,022

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