Considere uma tubulação de cobre com diâmetro de 32 mm e com extensão de 6 m através da qual transita uma vazão de 2 L / s em regime permanente. Suponha que essa tubulação transporte ora água fria, ora água quente. Calcule a perda de carga distribuída utilizando as equações de Fair-WhippleHsiao nas duas condições de utilização previstas. Comente os valores encontrados, comparando-os.

Passo 1

O enunciado pede a perda de carga por atrito em regime permanente numa tubulação de cobre de comprimento L=6{,}0 m e diâmetro interno D=0{,}032 m, com vazão volumétrica Q=2{,}0 L/s. Vamos aplicar as correlações de Fair-Whipple-Hsiao (forma explícita aproximada da Colebrook-White) para determinar o fator de atrito f em água fria e água quente e, em seguida, calcular a perda de carga distribuída
h_f \;=\; f\,\frac{L}{D}\,\frac{v^2}{2g}.
Para isso precisamos de: área da seção, velocidade média v, número de Reynolds em cada condição, equação de Hsiao para f e, por fim, a fórmula de Darcy–Weisbach.

Passo 2

Cálculo da área e da velocidade média.
A área interna vale
A = \frac{\pi D^2}{4} = \frac{\pi(0{,}032)^2}{4} \approx 8{,}04\times10^{-4}\,\mathrm{m^2}.
A vazão em \mathrm{m^3/s} é
Q = 2{,}0\;\mathrm{L/s} = 2{,}0\times10^{-3}\;\mathrm{m^3/s},
logo a velocidade média é
v = \frac{Q}{A} \approx \frac{2{,}0\times10^{-3}}{8{,}04\times10^{-4}} \approx 2{,}49\;\mathrm{m/s}.

Passo 3

Propriedades da água e número de Reynolds.
– Água fria 10^\circ\mathrm{C}: densidade \rho=999{,}7\;\mathrm{kg/m^3}, viscosidade cinemática \nu=1{,}307\times10^{-6}\;\mathrm{m^2/s}.
– Água quente 80^\circ\mathrm{C}: densidade \rho=971{,}8\;\mathrm{kg/m^3}, viscosidade cinemática \nu=0{,}360\times10^{-6}\;\mathrm{m^2/s}.
O número de Reynolds em cada caso é
Re = \frac{v\,D}{\nu}.
Para água fria:
Re_{\rm fria} = \frac{2{,}49\cdot0{,}032}{1{,}307\times10^{-6}} \approx 6{,}1\times10^{4},
e para água quente:
Re_{\rm quente} = \frac{2{,}49\cdot0{,}032}{0{,}360\times10^{-6}} \approx 2{,}2\times10^{5}.
Ambos em regime turbulento.

Passo 4

Fator de atrito pela correlação de Fair-Whipple-Hsiao (equação explícita aproximada da Colebrook-White):
\frac{1}{\sqrt{f}} = -1{,}8\;\log_{10}\!\Biggl[\Bigl(\frac{\epsilon/D}{3{,}7}\Bigr)^{1{,}11} \;+\;\frac{6{,}9}{Re}\Biggr],
onde a rugosidade absoluta para cobre é \epsilon=1{,}5\times10^{-6} m.
– Para água fria Re_{\rm fria}:
\frac{1}{\sqrt{f_{\rm fria}}} = -1{,}8\;\log_{10}\!\Bigl[(4{,}7\times10^{-5}/3{,}7)^{1,11}+\frac{6,9}{6{,}1\times10^4}\Bigr] \;\Longrightarrow\;f_{\rm fria}\approx0{,}020.
– Para água quente Re_{\rm quente}:
\frac{1}{\sqrt{f_{\rm quente}}} = -1{,}8\;\log_{10}\!\Bigl[(4{,}7\times10^{-5}/3{,}7)^{1,11}+\frac{6,9}{2{,}2\times10^5}\Bigr] \;\Longrightarrow\;f_{\rm quente}\approx0{,}015.

Passo 5

Cálculo da perda de carga distribuída via Darcy–Weisbach:
h_f = f\,\frac{L}{D}\,\frac{v^2}{2g},
com L/D = 6/0{,}032 = 187{,}5, v^2/(2g)\approx2{,}49^2/(2\cdot9{,}81)\approx0{,}316 m.
– Água fria:
h_{f,\rm fria} = 0{,}020 \times 187{,}5 \times 0{,}316 \approx 1{,}19\;\mathrm{m}.
– Água quente:
h_{f,\rm quente} = 0{,}015 \times 187{,}5 \times 0{,}316 \approx 0{,}87\;\mathrm{m}.

Resposta

h_{f,\rm fria}\approx1{,}19 m e h_{f,\rm quente}\approx0{,}87 m.
A perda de carga em água quente é menor porque a menor viscosidade eleva o número de Reynolds e, consequentemente, reduz o fator de atrito.

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