QUESTÃO 03 : Calcule
se
é uma função que satisfaz
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular
quando
satisfaz a equação
Informações dadas:
- A relação entre
e é implícita pela equação acima. - Queremos a derivada de
em relação a , isto é , assumindo função de . - A equação contém
, e .
A partir daqui vamos diferenciar ambos os lados em relação ae isolar .
Passo 2
Relembrando as regras de diferenciação que vamos usar (com explicação simples):
- Regra da cadeia: se
então . Aplicamos isso a , logo . - Derivada do logaritmo em base
: se então . Aqui e . - Derivada da função
(arctan): se então . Para temos . - Derivada de constante:
.
Também observe queporque depende de .
Passo 3
Agora derivamos termo a termo a equação em relação a
:
Usando as regras do passo anterior:
Passo 4
Expandimos o segundo termo para separar os termos que contêm
dos que não contêm:
Passo 5
Agrupamos os termos com
de um lado e os restantes do outro:
Isolando
:
Logo
Passo 6
Podemos deixar a resposta num único quociente mais “limpo” (opcional) multiplicando numerador e denominador por
, mas a forma do passo anterior já é adequada e clara para a prova. Mantemos então: