QUESTÃO 03 : Calcule
\frac{d y}{d x}=y^{\prime} se y=f(x) é uma função que satisfaz e^{y}+3 \log _{2}(x+y)+\operatorname{arctg}(4 x)=1.

Passo 1

O enunciado pede para calcular \dfrac{dy}{dx}=y' quando y=f(x) satisfaz a equação
e^{y}+3\log_{2}(x+y)+\operatorname{arctg}(4x)=1.
Informações dadas:
  • A relação entre x e y é implícita pela equação acima.
  • Queremos a derivada de y em relação a x, isto é y', assumindo y função de x.
  • A equação contém e^{y}, \log_{2}(x+y) e \operatorname{arctg}(4x).
    A partir daqui vamos diferenciar ambos os lados em relação a x e isolar y'.

Passo 2

Relembrando as regras de diferenciação que vamos usar (com explicação simples):
  • Regra da cadeia: se u=u(x) então \dfrac{d}{dx}\big(e^{u}\big)=e^{u}\cdot u'. Aplicamos isso a u=y(x), logo \dfrac{d}{dx}(e^{y})=e^{y}y'.
  • Derivada do logaritmo em base a: se u=u(x) então \dfrac{d}{dx}\big(\log_{a} u\big)=\dfrac{u'}{u\ln a}. Aqui a=2 e u=x+y.
  • Derivada da função \operatorname{arctg}(u) (arctan): se u=u(x) então \dfrac{d}{dx}\big(\operatorname{arctg}(u)\big)=\dfrac{u'}{1+u^{2}}. Para u=4x temos u'=4.
  • Derivada de constante: \dfrac{d}{dx}(1)=0.
    Também observe que \dfrac{d}{dx}(x+y)=1+y' porque y depende de x.

Passo 3

Agora derivamos termo a termo a equação em relação a x:
\frac{d}{dx}\big(e^{y}\big)+\frac{d}{dx}\big(3\log_{2}(x+y)\big)+\frac{d}{dx}\big(\operatorname{arctg}(4x)\big)=\frac{d}{dx}(1).
Usando as regras do passo anterior:
e^{y}y' + 3\cdot\frac{1+y'}{(x+y)\ln 2} + \frac{4}{1+(4x)^{2}} = 0.

Passo 4

Expandimos o segundo termo para separar os termos que contêm y' dos que não contêm:
e^{y}y' + \frac{3}{(x+y)\ln 2} + \frac{3y'}{(x+y)\ln 2} + \frac{4}{1+16x^{2}} = 0.

Passo 5

Agrupamos os termos com y' de um lado e os restantes do outro:
\bigg(e^{y} + \frac{3}{(x+y)\ln 2}\bigg) y' + \left(\frac{3}{(x+y)\ln 2} + \frac{4}{1+16x^{2}}\right) = 0.
Isolando y':
\bigg(e^{y} + \frac{3}{(x+y)\ln 2}\bigg) y' = -\left(\frac{3}{(x+y)\ln 2} + \frac{4}{1+16x^{2}}\right).
Logo
y' = -\,\frac{\dfrac{3}{(x+y)\ln 2} + \dfrac{4}{1+16x^{2}}}{e^{y} + \dfrac{3}{(x+y)\ln 2}}.

Passo 6

Podemos deixar a resposta num único quociente mais “limpo” (opcional) multiplicando numerador e denominador por (x+y)\ln 2\,(1+16x^{2}), mas a forma do passo anterior já é adequada e clara para a prova. Mantemos então:
y' = -\,\frac{\dfrac{3}{(x+y)\ln 2} + \dfrac{4}{1+16x^{2}}}{e^{y} + \dfrac{3}{(x+y)\ln 2}}.

Resposta

y' = -\,\frac{\dfrac{3}{(x+y)\ln 2} + \dfrac{4}{1+16x^{2}}}{e^{y} + \dfrac{3}{(x+y)\ln 2}}

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