Encontre uma equação do plano tangente à superficie
no ponto (
).
A.
B.
C.
D.
E.
A.
B.
C.
D.
E.
Passo 1
O enunciado pede: "Encontre uma equação do plano tangente à superfície
no ponto
."
Informações dadas:
o ponto de tangência é
.
São fornecidas as alternativas:
A.
B.
C.
D.
E.
São fornecidas as alternativas:
A.
B.
C.
D.
E.
Passo 2
Fórmula do plano tangente: para uma função
diferenciável no ponto
, a equação do plano tangente em
é
Explicando cada termo:
-
é o valor da superfície no ponto (altura do ponto). -
é a derivada parcial em relação a no ponto: indica a inclinação do gráfico quando movemos só em . -
é a derivada parcial em relação a : indica a inclinação quando movemos só em .
Essas derivadas parciais são as “inclinações” que definem a melhor aproximação linear (o plano) da superfície naquele ponto.
Passo 3
Vamos calcular a derivada parcial
. Temos
. Usamos a regra do produto: se
e
, então
Calculando:
(porque
). Portanto
Passo 4
Agora calculamos a derivada parcial
. Usamos que
é constante quando derivamos em relação a
:
Pelo efeito da cadeia,
. Logo
Passo 5
Avaliar as derivadas no ponto
. Primeiro calculemos
em
:
Então
Também verifiquemos
, que é o
dado.
Passo 6
Substituímos tudo na fórmula do plano tangente:
Com os valores obtidos:
Portanto a equação do plano tangente é
.
Passo 7
Conferência rápida: a alternativa que coincide com
é a alternativa A. Lembre-se: a técnica geral na prova é sempre calcular
e
e usar a fórmula do plano tangente — prática rende fluência e confiança!
Resposta
A.