Encontre uma equação do plano tangente à superficie
z=f(x, y)=x e^{x y}
no ponto ( 1,0,1 ).
A. z=x+y
B. z=x+y-1
C. z=1+x y
D. z=x+(y-1)
E. z=y-1

Passo 1

O enunciado pede: "Encontre uma equação do plano tangente à superfície
z=f(x,y)=x e^{x y}
no ponto \,(1,0,1)."
Informações dadas:
f(x,y)=x e^{x y},
o ponto de tangência é \,(x_0,y_0,z_0)=(1,0,1).
São fornecidas as alternativas:
A. \;z=x+y
B. \;z=x+y-1
C. \;z=1+x y
D. \;z=x+(y-1)
E. \;z=y-1

Passo 2

Fórmula do plano tangente: para uma função \,z=f(x,y) diferenciável no ponto \,(x_0,y_0), a equação do plano tangente em \,(x_0,y_0,f(x_0,y_0)) é
z = f(x_0,y_0) + f_x(x_0,y_0)\,(x-x_0) + f_y(x_0,y_0)\,(y-y_0).
Explicando cada termo:
  • \,f(x_0,y_0) é o valor da superfície no ponto (altura do ponto).
  • \,f_x(x_0,y_0) é a derivada parcial em relação a x no ponto: indica a inclinação do gráfico quando movemos só em x.
  • \,f_y(x_0,y_0) é a derivada parcial em relação a y: indica a inclinação quando movemos só em y.
    Essas derivadas parciais são as “inclinações” que definem a melhor aproximação linear (o plano) da superfície naquele ponto.

Passo 3

Vamos calcular a derivada parcial \,f_x(x,y). Temos \;f(x,y)=x e^{x y}. Usamos a regra do produto: se \,u(x,y)=x e \,v(x,y)=e^{x y}, então
f_x = u_x v + u v_x.
Calculando:
u_x = \frac{\partial}{\partial x}x = 1,
v_x = \frac{\partial}{\partial x} e^{x y} = e^{x y}\cdot y
(porque \frac{d}{dx}e^{x y}=e^{x y}\cdot\frac{d}{dx}(x y)=e^{x y}\cdot y). Portanto
f_x(x,y) = 1\cdot e^{x y} + x\cdot\big(e^{x y}\cdot y\big) = e^{x y} + x y e^{x y} = e^{x y}(1 + x y).

Passo 4

Agora calculamos a derivada parcial \,f_y(x,y). Usamos que x é constante quando derivamos em relação a y:
f_y(x,y) = x \cdot \frac{\partial}{\partial y} e^{x y}.
Pelo efeito da cadeia, \frac{\partial}{\partial y} e^{x y} = e^{x y}\cdot x. Logo
f_y(x,y) = x \cdot \big(e^{x y}\cdot x\big) = x^2 e^{x y}.

Passo 5

Avaliar as derivadas no ponto \,(x_0,y_0)=(1,0). Primeiro calculemos e^{x y} em (1,0):
e^{1\cdot 0} = e^{0} = 1.
Então
f_x(1,0) = e^{0}(1 + 1\cdot 0) = 1\cdot 1 = 1,
f_y(1,0) = 1^2\cdot e^{0} = 1\cdot 1 = 1.
Também verifiquemos f(1,0)=1\cdot e^{0}=1, que é o z_0 dado.

Passo 6

Substituímos tudo na fórmula do plano tangente:
z = f(1,0) + f_x(1,0)\,(x-1) + f_y(1,0)\,(y-0).
Com os valores obtidos:
z = 1 + 1\cdot(x-1) + 1\cdot y = 1 + x - 1 + y = x + y.
Portanto a equação do plano tangente é \;z=x+y.

Passo 7

Conferência rápida: a alternativa que coincide com \;z=x+y é a alternativa A. Lembre-se: a técnica geral na prova é sempre calcular \,f_x e \,f_y e usar a fórmula do plano tangente — prática rende fluência e confiança!

Resposta

A. \;z=x+y

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