QUESTÃO 03 : Calcule
Por definição, f^{\prime}(x) se f(x)=\frac{5}{3-x}.

Passo 1

O enunciado dá a função \displaystyle f(x)=\frac{5}{3-x} e pede para calcular, por definição, a derivada f'(x).
Informações relevantes que temos:
  • A função é \displaystyle f(x)=\frac{5}{3-x}.
  • Precisamos usar a definição de derivada (limite do quociente incremental).
  • Devemos expressar f'(x) em função de x.

Passo 2

Escrevemos a definição de derivada (vou explicar o que cada coisa significa):
f'(x)=\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}.
Aqui \displaystyle h é um pequeno incremento em x; a expressão dentro do limite é o chamado quociente incremental (variação de f dividida pela variação de x). Tomamos o limite quando \displaystyle h tende a zero para obter a taxa instantânea de variação de f em x.

Passo 3

Substituímos \displaystyle f(x+h) e \displaystyle f(x) na fórmula:
Primeiro calcule \displaystyle f(x+h):
f(x+h)=\frac{5}{3-(x+h)}=\frac{5}{3-x-h}.
Agora o quociente incremental fica
\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=\frac{\dfrac{5}{3-x-h}-\dfrac{5}{3-x}}{h}.

Passo 4

Vamos simplificar o numerador passo a passo. Colocamos em evidência o 5:
\frac{\dfrac{5}{3-x-h}-\dfrac{5}{3-x}}{h} =\frac{5\left(\dfrac{1}{3-x-h}-\dfrac{1}{3-x}\right)}{h}.
Agora fazemos a diferença de frações dentro dos parênteses juntando em um denominador comum:
\dfrac{1}{3-x-h}-\dfrac{1}{3-x} =\dfrac{(3-x)-(3-x-h)}{(3-x-h)(3-x)} =\dfrac{h}{(3-x-h)(3-x)}.
Substituindo isso de volta:
\frac{f(x+h)-f(x)}{h} =\frac{5\cdot \dfrac{h}{(3-x-h)(3-x)}}{h}.

Passo 5

Cancelamos o \displaystyle h que aparece no numerador com o que está no denominador do quociente (isso é válido para h\neq 0; no limite consideramos valores de h próximos de zero, não exatamente zero):
\frac{5\cdot \dfrac{h}{(3-x-h)(3-x)}}{h} =\frac{5}{(3-x-h)(3-x)}.
Agora aplicamos o limite \displaystyle h\to 0. Como a expressão é contínua em h quando x\neq 3, podemos simplesmente substituir h=0:
f'(x)=\lim_{h\to 0}\frac{5}{(3-x-h)(3-x)} =\frac{5}{(3-x)(3-x)} =\frac{5}{(3-x)^2}.

Passo 6

Resumo didático rápido (para você decorar calmamente): a técnica foi usar a definição, combinar as frações no numerador, fatorar e cancelar o h, e então avaliar o limite. Um jeito rápido de checar mentalmente: escrever \displaystyle f(x)=5(3-x)^{-1} e aplicar a regra da cadeia dá o mesmo resultado (mas como o enunciado pediu “por definição” fizemos o limite). Lembre-se que a expressão só faz sentido para \displaystyle x\neq 3 (ali a função não está definida).

Resposta

\displaystyle f'(x)=\frac{5}{(3-x)^2}

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