QUESTÃO 03 : Calcule
Por definição,
se
.
Por definição,
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede para calcular, por definição, a derivada
.
Informações relevantes que temos:
Informações relevantes que temos:
- A função é
. - Precisamos usar a definição de derivada (limite do quociente incremental).
- Devemos expressar
em função de .
Passo 2
Escrevemos a definição de derivada (vou explicar o que cada coisa significa):
Aqui
é um pequeno incremento em
; a expressão dentro do limite é o chamado quociente incremental (variação de
dividida pela variação de
). Tomamos o limite quando
tende a zero para obter a taxa instantânea de variação de
em
.
Passo 3
Substituímos
e
na fórmula:
Primeiro calcule :
Primeiro calcule
Agora o quociente incremental fica
Passo 4
Vamos simplificar o numerador passo a passo. Colocamos em evidência o
:
Agora fazemos a diferença de frações dentro dos parênteses juntando em um denominador comum:
Substituindo isso de volta:
Passo 5
Cancelamos o
que aparece no numerador com o que está no denominador do quociente (isso é válido para
; no limite consideramos valores de
próximos de zero, não exatamente zero):
Agora aplicamos o limite
. Como a expressão é contínua em
quando
, podemos simplesmente substituir
:
Passo 6
Resumo didático rápido (para você decorar calmamente): a técnica foi usar a definição, combinar as frações no numerador, fatorar e cancelar o
, e então avaliar o limite. Um jeito rápido de checar mentalmente: escrever
e aplicar a regra da cadeia dá o mesmo resultado (mas como o enunciado pediu “por definição” fizemos o limite). Lembre-se que a expressão só faz sentido para
(ali a função não está definida).