Questão 03: Campo magnético produzido por solenoide longo
Um solenoide longo com raio R, eixo na direção z e n voltas por unidade de comprimento transporta uma corrente estacionária i. No seu interior, seu potencial vetor a uma distância s do eixo é dado por
A=mu0 i n2 s phi
Calcule o campo magnético no interior do solenoide:
(1,5) Usando a relação B=nabla times A.

Passo 1

O enunciado dá o potencial vetor de um solenoide longo, de maneira que dentro dele, a uma distância s do eixo,
A = mu0 i n2,s,hatphi
e pede o campo magnético usando
B = nabla times A.
Estamos em magnetostática e vamos usar a expressão do rotacional em coordenadas cilíndricas (s,phi,z).

Passo 2

Em coordenadas cilíndricas, as componentes do rotacional são:
(nablatimesvec A)s = 1spartial Azpartial phi - partial Aphipartial z
(nablatimesvec A)phi = partial Aspartial z - partial Azpartial s
(nablatimesvec A)z = 1sl[partialpartial s(s,Aphi) - partial Aspartial phir]

Passo 3

Identificamos as componentes de vec A:
As = 0, Aphi = mu0 i n2,s, Az = 0
e vemos que não há dependência de phi nem de z.

Passo 4

Todas as componentes do rotacional caem a zero, exceto a de z:
(nablatimesvec A)z = 1spartialpartial sl(scdotmu0 i n2,sr) = 1spartialpartial sl(mu0 i n2,s^2r) = 1sl(mu0 i n,sr) = mu0 i n

Resposta

boxedB = mu0,n,i;z

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