Seja a integral I=\int_{0}^{1} e^{x} d x. Resolva a integral por:
a) Trapézios Repetidos com \mathrm{n}=10.
b) Estime o limitante superior para o erro para a regra dos Trapézios Repetidos.
c) 1 / 3 de Simpson com n=10
d) Estime o limitante superior para o erro para a regra de 1/3 de Simpson.

Passo 1

O enunciado pede que a integral
I=\int_{0}^{1} e^{x}\,dx
seja aproximada por duas regras numéricas e que sejam estimados os limitantes superiores (bounds) dos erros. As perguntas são:
a) Calcular a regra dos Trapézios Repetidos (composta) com n=10.
b) Estimar o limitante superior do erro para a regra dos Trapézios Repetidos (com n=10).
c) Calcular a regra de 1/3 de Simpson composta com n=10.
d) Estimar o limitante superior do erro para a regra de 1/3 de Simpson (com n=10).
Informações relevantes dadas (e que vamos usar):
  • Intervalo: [a,b]=[0,1].
  • Função: f(x)=e^{x}.
  • Número de subintervalos: n=10.
  • Para f(x)=e^{x} todas as derivadas são e^{x}, logo em [0,1] o máximo de |f''(x)| e de |f^{(4)}(x)| é e (pois e^{x} é crescente e e^{1}=e).
  • Passo (largura do subintervalo) será h=(b-a)/n.

Passo 2

Definimos o passo e os nós (pontos de amostragem):
h=\frac{b-a}{n}=\frac{1-0}{10}=0,1.
Os nós são x_k=a+k h para k=0,1,\dots,10, isto é:
x_0=0,\;x_1=0,1,\;x_2=0,2,\;\dots,\;x_{10}=1.
Os valores da função nos nós são f(x_k)=e^{x_k}. Vou usar as seguintes aproximações (peguei os valores calculados para e^{x} nos nós):
\begin{aligned} f(x_0)&=e^{0}=1,\\\ f(x_1)&=e^{0,1}\approx 1,1051709180756477,\\\ f(x_2)&=e^{0,2}\approx 1,2214027581601699,\\\ f(x_3)&=e^{0,3}\approx 1,3498588075760032,\\\ f(x_4)&=e^{0,4}\approx 1,4918246976412703,\\\ f(x_5)&=e^{0,5}\approx 1,6487212707001282,\\\ f(x_6)&=e^{0,6}\approx 1,8221188003905089,\\\ f(x_7)&=e^{0,7}\approx 2,0137527074704766,\\\ f(x_8)&=e^{0,8}\approx 2,2255409284924680,\\\ f(x_9)&=e^{0,9}\approx 2,4596031111569504,\\\ f(x_{10})&=e^{1}\approx 2,7182818284590451. \end{aligned}
(Sei que é muita casa decimal; mantenho mais dígitos para a precisão das somas.)
Também é útil saber o valor exato da integral para comparação:
I=\int_{0}^{1} e^{x}\,dx=\bigl[e^{x}\bigr]_{0}^{1}=e-1\approx 1,7182818284590451.

Passo 3

Regra composta dos Trapézios — fórmula e explicação didática.
Fórmula (composta com passo h e n subintervalos):
T_n = h\left(\frac{f(x_0)+f(x_n)}{2}+\sum_{k=1}^{n-1} f(x_k)\right).
O que isso faz: cada subintervalo [x_{k-1},x_k] é aproximado pela área de um trapézio de bases f(x_{k-1}) e f(x_k) e largura h. Somando os n trapézios obtemos a fórmula acima; o fator (f(x_0)+f(x_n))/2 aparece porque os nós internos contam duas vezes quando somamos todas as bases dos trapésios.
Vamos calcular as somas com os valores do Passo 2:
Primeiro a soma das f(x_k) internas ( k=1 a 9):
\sum_{k=1}^{9} f(x_k)\approx 15,337993999663622.
O termo de borda:
\frac{f(x_0)+f(x_{10})}{2}=\frac{1+2,7182818284590451}{2}\approx 1,8591409142295226.
Somando:
\frac{f(x_0)+f(x_{10})}{2}+\sum_{k=1}^{9} f(x_k)\approx 17,197134913893145.
Multiplicando por h=0,1:
T_{10}=0,1\times 17,197134913893145\approx 1,7197134913893145.

Passo 4

Interpretação do resultado do Trapézio e cálculo do erro real (apenas para referência).
  • Aproximação pelo Trapézio composto com n=10:
T_{10}\approx 1,7197134913893145.
  • Erro real (diferença entre aproximação e valor exato I=e-1):
\lvert E_{\text{real}}\rvert =\lvert T_{10}-I\rvert \approx \lvert 1,7197134913893145-1,7182818284590451\rvert \approx 0,0014316629302694.
Isso mostra que o erro prático é da ordem de 1{,}4\times 10^{-3}.

Passo 5

Limitante superior para o erro da regra dos Trapézios Repetidos — fórmula, significado e cálculo.
Fórmula do limitante (bound) do erro para a regra composta dos Trapézios:
\lvert E_{T}\rvert \le \frac{(b-a)^{3}}{12n^{2}}\max_{x\in[a,b]}\lvert f''(x)\rvert.
Explicando as quantidades:
  • (b-a) é o comprimento do intervalo (aqui 1).
  • n é o número de subintervalos.
  • \max_{[a,b]} |f''(x)| é o maior valor absoluto da segunda derivada no intervalo — isso mede a curvatura da função; quanto maior a curvatura, maior o erro do trapézio.
    Para f(x)=e^{x} temos f''(x)=e^{x} e, em [0,1], \max e^{x}=e. Assim:
\lvert E_{T}\rvert \le \frac{1^{3}}{12\cdot 10^{2}}\,e = \frac{e}{1200}.
Calculando numericamente:
\frac{e}{1200}\approx \frac{2,7182818284590451}{1200}\approx 0,002265234856.
Portanto o limitante superior do erro pelo teorema é aproximadamente 2{,}265\times 10^{-3}. Observação: o erro real (do Passo 4) foi menor que esse bound, como esperado (o bound é uma garantia superior, não necessariamente apertada).

Passo 6

Regra composta de 1/3 de Simpson — fórmula e explicação didática.
Condição: n deve ser par; aqui n=10 é par, então podemos aplicar.
Fórmula (composta):
S_n=\frac{h}{3}\Bigl(f(x_0)+f(x_n)+4\sum_{\substack{k=1\\\ k\\ \text{ímpar}}}^{n-1} f(x_k)+2\sum_{\substack{k=2\\\ k\\ \text{par}}}^{n-2} f(x_k)\Bigr).í
O que essa fórmula faz: em pares de subintervalos [x_{2j-2},x_{2j}] ajusta um polinômio de grau 2 (parábola) passando pelos três pontos e integra essa parábola — isso normalmente dá uma precisão bem melhor que o trapézio quando a função é suave.
Vamos calcular as somas usando os valores do Passo 2.
Soma dos nós com índices ímpares k=1,3,5,7,9:
\sum_{\text{ímpares}} f(x_k)\approx 8,577106814979205.í
Soma dos nós com índices pares k=2,4,6,8:
\sum_{\text{pares}} f(x_k)\approx 6,760887184684417.
Agora aplicando a fórmula:
\begin{aligned} f(x_0)+f(x_{10})&\approx 3,7182818284590451,\\\\ 4\sum_{\text{ímpares}} f(x_k)&\approx 4\times 8,577106814979205\approx 34,30842725991682,\\\\ 2\sum_{\text{pares}} f(x_k)&\approx 2\times 6,760887184684417\approx 13,521774369368834. \end{aligned}í
Somando tudo no colchete:
3,7182818284590451+34,30842725991682+13,521774369368834\approx 51,5484834577447.
Multiplicando por h/3 com h=0,1:
S_{10}=\frac{0,1}{3}\times 51,5484834577447=\frac{51,5484834577447}{30}\approx 1,7182827819248234.

Passo 7

Interpretação do resultado de Simpson e comparação com o exato.
  • Aproximação pelo Simpson composta com n=10:
S_{10}\approx 1,7182827819248234.
  • Erro real:
\lvert E_{\text{real}}\rvert =\lvert S_{10}-I\rvert \approx \lvert 1,7182827819248234-1,7182818284590451\rvert \approx 0,0000009534657783\approx 9,53\times 10^{-7}.
Note que o erro real aqui é muito pequeno (ordem de 10^{-6}), bem menor que o erro do trapézio com o mesmo n.

Passo 8

Limitante superior para o erro da regra de 1/3 de Simpson — fórmula, significado e cálculo.
Fórmula do limitante do erro para Simpson composta:
\lvert E_{S}\rvert \le \frac{(b-a)^{5}}{180\,n^{4}}\max_{x\in[a,b]} \lvert f^{(4)}(x)\rvert.
Explicando:
  • Aqui aparece a quarta derivada porque o termo dominante do erro de Simpson envolve a derivada de ordem 4; se essa derivada for pequena, Simpson será muito preciso.
    Para f(x)=e^{x} temos f^{(4)}(x)=e^{x} e, em [0,1], o máximo vale e. Com (b-a)=1 e n=10:
\lvert E_{S}\rvert \le \frac{1^{5}}{180\cdot 10^{4}}\,e = \frac{e}{1\,800\,000}.
Calculando numericamente:
\frac{e}{1\,800\,000}\approx \frac{2,7182818284590451}{1\,800\,000}\approx 0,0000015101565714\approx 1,5101566\times 10^{-6}.
O bound é aproximadamente 1{,}51\times 10^{-6}. Observação: o erro real obtido no Passo 7 ( \approx 9{,}53\times 10^{-7}) está abaixo desse bound, como deve acontecer.

Resposta

a) T_{10}\approx 1,7197134913893145
b) \displaystyle \lvert E_{T}\rvert \le \frac{e}{1200}\approx 0,002265234856
c) S_{10}\approx 1,7182827819248234
d) \displaystyle \lvert E_{S}\rvert \le \frac{e}{1\,800\,000}\approx 1,5101566\times 10^{-6}

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