Seja a integral
. Resolva a integral por:
a) Trapézios Repetidos com
.
b) Estime o limitante superior para o erro para a regra dos Trapézios Repetidos.
c)
de Simpson com
d) Estime o limitante superior para o erro para a regra de 1/3 de Simpson.
a) Trapézios Repetidos com
b) Estime o limitante superior para o erro para a regra dos Trapézios Repetidos.
c)
d) Estime o limitante superior para o erro para a regra de 1/3 de Simpson.
Passo 1
O enunciado pede que a integral
seja aproximada por duas regras numéricas e que sejam estimados os limitantes superiores (bounds) dos erros. As perguntas são:
a) Calcular a regra dos Trapézios Repetidos (composta) com .
b) Estimar o limitante superior do erro para a regra dos Trapézios Repetidos (com ).
c) Calcular a regra de de Simpson composta com
.
d) Estimar o limitante superior do erro para a regra de de Simpson (com
).
a) Calcular a regra dos Trapézios Repetidos (composta) com
b) Estimar o limitante superior do erro para a regra dos Trapézios Repetidos (com
c) Calcular a regra de
d) Estimar o limitante superior do erro para a regra de
Informações relevantes dadas (e que vamos usar):
- Intervalo:
. - Função:
. - Número de subintervalos:
. - Para
todas as derivadas são , logo em o máximo de e de é (pois é crescente e ). - Passo (largura do subintervalo) será
.
Passo 2
Definimos o passo e os nós (pontos de amostragem):
Os nós são
para
, isto é:
Os valores da função nos nós são
. Vou usar as seguintes aproximações (peguei os valores calculados para
nos nós):
(Sei que é muita casa decimal; mantenho mais dígitos para a precisão das somas.)
Também é útil saber o valor exato da integral para comparação:
Passo 3
Regra composta dos Trapézios — fórmula e explicação didática.
Fórmula (composta com passo
e
subintervalos):
O que isso faz: cada subintervalo
é aproximado pela área de um trapézio de bases
e
e largura
. Somando os
trapézios obtemos a fórmula acima; o fator
aparece porque os nós internos contam duas vezes quando somamos todas as bases dos trapésios.
Vamos calcular as somas com os valores do Passo 2:
Primeiro a soma das internas (
a
):
Primeiro a soma das
O termo de borda:
Somando:
Multiplicando por
:
Passo 4
Interpretação do resultado do Trapézio e cálculo do erro real (apenas para referência).
- Aproximação pelo Trapézio composto com
:
- Erro real (diferença entre aproximação e valor exato
):
Isso mostra que o erro prático é da ordem de
.
Passo 5
Limitante superior para o erro da regra dos Trapézios Repetidos — fórmula, significado e cálculo.
Fórmula do limitante (bound) do erro para a regra composta dos Trapézios:
Explicando as quantidades:
-
é o comprimento do intervalo (aqui ). -
é o número de subintervalos. -
é o maior valor absoluto da segunda derivada no intervalo — isso mede a curvatura da função; quanto maior a curvatura, maior o erro do trapézio.
Paratemos e, em , . Assim:
Calculando numericamente:
Portanto o limitante superior do erro pelo teorema é aproximadamente
. Observação: o erro real (do Passo 4) foi menor que esse bound, como esperado (o bound é uma garantia superior, não necessariamente apertada).
Passo 6
Regra composta de
de Simpson — fórmula e explicação didática.
Condição:
deve ser par; aqui
é par, então podemos aplicar.
Fórmula (composta):
Fórmula (composta):
O que essa fórmula faz: em pares de subintervalos
ajusta um polinômio de grau 2 (parábola) passando pelos três pontos e integra essa parábola — isso normalmente dá uma precisão bem melhor que o trapézio quando a função é suave.
Vamos calcular as somas usando os valores do Passo 2.
Soma dos nós com índices ímpares
:
Soma dos nós com índices pares
:
Agora aplicando a fórmula:
Somando tudo no colchete:
Multiplicando por
com
:
Passo 7
Interpretação do resultado de Simpson e comparação com o exato.
- Aproximação pelo Simpson composta com
:
- Erro real:
Note que o erro real aqui é muito pequeno (ordem de
), bem menor que o erro do trapézio com o mesmo
.
Passo 8
Limitante superior para o erro da regra de
de Simpson — fórmula, significado e cálculo.
Fórmula do limitante do erro para Simpson composta:
Explicando:
- Aqui aparece a quarta derivada porque o termo dominante do erro de Simpson envolve a derivada de ordem 4; se essa derivada for pequena, Simpson será muito preciso.
Paratemos e, em , o máximo vale . Com e :
Calculando numericamente:
O bound é aproximadamente
. Observação: o erro real obtido no Passo 7 (
) está abaixo desse bound, como deve acontecer.
Resposta
a)
b)
c)
d)
b)
c)
d)