Em um modelo de dispersão hidrodinâmica, a posição de uma partícula é dada por:
\vec{r}(t)=\left\langle\frac{e^{2 t}-1}{t}, \frac{\operatorname{sen}(3 t)}{t}, \sqrt{t+4}\right\rangle
Determine a posição inicial da partícula, ou seja, \lim _{t \rightarrow 0} \vec{r}(t).

Passo 1

O que o enunciado pede e o que foi dado. Foi dada a posição da partícula
\vec{r}(t)=\left\langle\frac{e^{2 t}-1}{t},\;\frac{\sin(3 t)}{t},\;\sqrt{t+4}\right\rangle
e a pergunta é determinar a posição inicial, ou seja calcular
\lim_{t\to0}\vec{r}(t).
Informações relevantes que temos do enunciado:
  • As três componentes são funções escalares de t: \dfrac{e^{2t}-1}{t}, \dfrac{\sin(3t)}{t} e \sqrt{t+4}.
  • O ponto de interesse é t\to0.
  • Cada componente pode dar um tipo de indeterminação (por exemplo 0/0) ou ser contínua; precisamos avaliar cada uma.

Passo 2

Regra útil (com explicação): limite de função vetorial é limite componente a componente. Mais precisamente, se \vec{r}(t)=\langle f(t),g(t),h(t)\rangle e os limites \lim_{t\to0}f(t), \lim_{t\to0}g(t), \lim_{t\to0}h(t) existem, então
\lim_{t\to0}\vec{r}(t)=\left\langle\lim_{t\to0}f(t),\;\lim_{t\to0}g(t),\;\lim_{t\to0}h(t)\right\rangle.
Justificativa curta e intuitiva: cada componente dá um número quando t se aproxima de 0; juntar esses números forma o vetor limite. Assim podemos calcular os três limites escalares separadamente.

Passo 3

Cálculo da primeira componente \displaystyle\lim_{t\to0}\frac{e^{2t}-1}{t}.
Observação: ao substituir t=0 diretamente obtemos \dfrac{e^{0}-1}{0}=\dfrac{0}{0}, forma indeterminada. Há uma técnica direta e muito usada: lembrar o limite conhecido
\lim_{u\to0}\frac{e^{u}-1}{u}=1.
Aqui podemos tomar u=2t. Então
\frac{e^{2t}-1}{t}=\frac{2\,(e^{2t}-1)}{2t}=2\cdot\frac{e^{2t}-1}{2t}.
Aplicando o limite com u=2t e sabendo que \lim_{u\to0}\dfrac{e^{u}-1}{u}=1, obtemos
\lim_{t\to0}\frac{e^{2t}-1}{t}=2\cdot 1=2.
Explicação do limite usado: a propriedade \lim_{u\to0}\dfrac{e^{u}-1}{u}=1 vem do desenvolvimento em série de Taylor e^{u}=1+u+\dfrac{u^{2}}{2}+\cdots ou da definição da derivada de e^{u} em 0.

Passo 4

Cálculo da segunda componente \displaystyle\lim_{t\to0}\frac{\sin(3t)}{t}.
Novamente, substituindo t=0 aparece a forma \dfrac{0}{0}. Usamos o limite clássico
\lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}=1.
Colocando x=3t temos
\frac{\sin(3t)}{t}=\frac{3\,\sin(3t)}{3t}=3\cdot\frac{\sin(3t)}{3t}.
Aplicando o limite e a propriedade acima vem
\lim_{t\to0}\frac{\sin(3t)}{t}=3\cdot 1=3.
Obs.: o limite \lim_{x\to0}\dfrac{\sin x}{x}=1 pode ser justificado geometricamente ou pela série de Taylor \sin x = x - \dfrac{x^3}{6}+\cdots.

Passo 5

Cálculo da terceira componente \displaystyle\lim_{t\to0}\sqrt{t+4}.
Esta função é contínua no ponto t=0 (raízes quadradas de argumentos positivos produzem funções contínuas). Portanto o limite é simplesmente o valor da função em t=0:
\lim_{t\to0}\sqrt{t+4}=\sqrt{0+4}=\sqrt{4}=2.
Se preferir, pode-se ver isso escrevendo a função como h(t)=\sqrt{t+4} e usando que funções elementares contínuas permitem a passagem do limite para dentro da função.

Passo 6

Juntando as três componentes (pela propriedade do Passo 2), obtemos
\lim_{t\to0}\vec{r}(t)=\left\langle 2,\;3,\;2\right\rangle.

Resposta

\langle 2,3,2\rangle

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