Em um modelo de dispersão hidrodinâmica, a posição de uma partícula é dada por:
Determine a posição inicial da partícula, ou seja,
.
Passo 1
O que o enunciado pede e o que foi dado. Foi dada a posição da partícula
e a pergunta é determinar a posição inicial, ou seja calcular
Informações relevantes que temos do enunciado:
- As três componentes são funções escalares de
: , e . - O ponto de interesse é
. - Cada componente pode dar um tipo de indeterminação (por exemplo
) ou ser contínua; precisamos avaliar cada uma.
Passo 2
Regra útil (com explicação): limite de função vetorial é limite componente a componente. Mais precisamente, se
e os limites
,
,
existem, então
Justificativa curta e intuitiva: cada componente dá um número quando
se aproxima de
; juntar esses números forma o vetor limite. Assim podemos calcular os três limites escalares separadamente.
Passo 3
Cálculo da primeira componente
.
Observação: ao substituir
diretamente obtemos
, forma indeterminada. Há uma técnica direta e muito usada: lembrar o limite conhecido
Aqui podemos tomar
. Então
Aplicando o limite com
e sabendo que
, obtemos
Explicação do limite usado: a propriedade
vem do desenvolvimento em série de Taylor
ou da definição da derivada de
em
.
Passo 4
Cálculo da segunda componente
.
Novamente, substituindo
aparece a forma
. Usamos o limite clássico
Colocando
temos
Aplicando o limite e a propriedade acima vem
Obs.: o limite
pode ser justificado geometricamente ou pela série de Taylor
.
Passo 5
Cálculo da terceira componente
.
Esta função é contínua no ponto
(raízes quadradas de argumentos positivos produzem funções contínuas). Portanto o limite é simplesmente o valor da função em
:
Se preferir, pode-se ver isso escrevendo a função como
e usando que funções elementares contínuas permitem a passagem do limite para dentro da função.
Passo 6
Juntando as três componentes (pela propriedade do Passo 2), obtemos