a) Encontre H(j w).
b) Dado que x(t)=e^{-2 t} u(t), determine X(j w).
c) Por meio da propriedade da convolução da transformada de Fourier, determine Y(j w) e y(t).
Passo 1
Enunciado e o que é pedido (resumindo, com todas as informações relevantes):
Perguntas:
a) Encontrar H(j\omega) (função de transferência em frequência).
b) Dado x(t)=e^{-2t}u(t), determinar X(j\omega).
c) Usando a propriedade da convolução da transformada de Fourier, determinar Y(j\omega) e y(t).
Passo 2
Conceito-chave usado para (a): transformação de Fourier e propriedade das derivadas.
Propriedade (derivada no tempo → multiplicação por j\omega no domínio da frequência):\mathcal{F}\left\{\frac{d^n x(t)}{dt^n}\right\}= (j\omega)^n X(j\omega),desde que os sinais sejam apropriados (p.ex. suficientes decaimento ou condições causais) — na prática em problemas de EDO lineares essa fórmula é usada direto.
Aplicando a transformada de Fourier à EDO: transforme cada termo em função de Y(j\omega) e X(j\omega).
Para o lado esquerdo:\mathcal{F}\left\{\frac{d^{2} y}{dt^{2}}\right\}=(j\omega)^2 Y(j\omega), \qquad \mathcal{F}\left\{\frac{d y}{dt}\right\}=j\omega Y(j\omega),então\big((j\omega)^2+6(j\omega)+8\big)Y(j\omega).
Para o lado direito:\mathcal{F}\left\{2\frac{d x}{dt}+x(t)\right\}=(2j\omega+1)X(j\omega).
A função de transferência é definida por H(j\omega)=\dfrac{Y(j\omega)}{X(j\omega)} assumindo condições iniciais nulas (sistema LTI). Assim,H(j\omega)=\frac{2j\omega+1}{(j\omega)^2+6j\omega+8}.
Observação útil: fatorando o denominador:(j\omega)^2+6j\omega+8=(j\omega+2)(j\omega+4),então podemos escreverH(j\omega)=\frac{2j\omega+1}{(j\omega+2)(j\omega+4)}.
Passo 3
Determinar X(j\omega) para x(t)=e^{-2t}u(t) (parte b).
Use a definição da transformada de Fourier:X(j\omega)=\int_{-\infty}^{\infty} x(t)e^{-j\omega t}\,dt = \int_{0}^{\infty} e^{-2t} e^{-j\omega t}\,dt,porque u(t) restringe a integral a t\ge0.
Calcule a integral (é uma integral exponencial):X(j\omega)=\int_{0}^{\infty} e^{-(2+j\omega)t}\,dt = \left[\frac{e^{-(2+j\omega)t}}{-(2+j\omega)}\right]_{0}^{\infty}.Como \Re(2+j\omega)=2>0, o termo no infinito some, ficandoX(j\omega)=\frac{1}{2+j\omega}=\frac{1}{j\omega+2}.
PortantoX(j\omega)=\frac{1}{j\omega+2}.
Passo 4
Usar a propriedade da convolução / multiplicação para obter Y(j\omega) (parte c).
Propriedade relevante: para um sistema LTI com resposta em frequência H(j\omega) e entrada X(j\omega),Y(j\omega)=H(j\omega)\,X(j\omega).
Substituindo os resultados de Passo 2 e Passo 3:Y(j\omega)=\frac{2j\omega+1}{(j\omega+2)(j\omega+4)}\cdot\frac{1}{j\omega+2} =\frac{2j\omega+1}{(j\omega+2)^2 (j\omega+4)}.
Passo 5
Preparar a inversão de Y(j\omega)\) para obter \(y(t)\): decomposição em frações parciais.
- Defina \(s=j\omega\) para simplificar a álgebra; então
\[Y(j\omega)=\frac{2s+1}{(s+2)^2(s+4)},\quad s=j\omega.
Procuramos a decomposição\frac{2s+1}{(s+2)^2(s+4)}=\frac{A}{s+2}+\frac{B}{(s+2)^2}+\frac{C}{s+4}.
Multiplicando ambos os lados por (s+2)^2(s+4) obtemos2s+1 = A(s+2)(s+4) + B(s+4) + C(s+2)^2.
Expanda e compare coeficientes. Desenvolvendo:A(s^2+6s+8) + B(s+4) + C(s^2+4s+4).Agrupando coeficientes de s^2, s, 1:s^2(A+C) + s(6A+B+4C) + (8A+4B+4C).Deve ser igual a 2s+1, isto é coeficientes:\begin{cases} A+C=0,\\[4pt] 6A+B+4C=2,\\[4pt] 8A+4B+4C=1. \end{cases}