Questão 03: Determine a série de Maclaurin de
. (Assuma que
tem expansão em um série de potências. Não mostre que
). Encontre também o raio de convergência.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão juntos! O enunciado pede para determinarmos a série de Maclaurin da função $ f(x) = \frac{3}{1 - x^{4}} $ e também encontrar o raio de convergência dessa série. A série de Maclaurin é uma expansão em série de potências de uma função em torno de $ x = 0 $. Para resolver isso, vamos usar o conhecimento básico de séries geométricas e propriedades de séries de potências.
Passo 2
Primeiro, lembremos que a série geométrica tem a forma $ \frac{1}{1 - u} = \sum_{n=0}^{\infty} u^{n} $ para $ |u| < 1 $. Nesse caso, nossa função $ f(x) = \frac{3}{1 - x^{4}} $ se parece muito com a forma da série geométrica, onde $ u = x^{4} $.
Passo 3
Substituindo $ u = x^{4} $ na série geométrica, temos:
Multiplicando ambos os lados por 3 para corresponder à nossa função $ f(x) $:
Então, a série de Maclaurin para $ f(x) $ é $ \sum_{n=0}^{\infty} 3x^{4n} $.
Passo 4
Agora, vamos determinar o raio de convergência dessa série. Sabemos que a série geométrica $ \sum_{n=0}^{\infty} u^{n} $ converge quando $ |u| < 1 $. No nosso caso, $ u = x^{4} $, então a condição de convergência é:
Portanto, o raio de convergência $ R $ é 1.
Resposta
A série de Maclaurin de $ f(x) = \frac{3}{1 - x^{4}} $ é $ \sum_{n=0}^{\infty} 3x^{4n} $ e o raio de convergência é $ R = 1 $.