Questão 03: Determine a série de Maclaurin de . (Assuma que tem expansão em um série de potências. Não mostre que ). Encontre também o raio de convergência.
Passo 1
A gente precisa achar a série de Maclaurin de , ou seja, expandir em potência de em torno de zero. O assunto é série de Taylor/Maclaurin e vamos usar a fórmula que diz:
Passo 2
Como , cada derivada de ordem é . Avaliando em dá
Passo 3
Substituindo na fórmula da série de Maclaurin, obtemos:
Passo 4
Para achar o raio de convergência , aplicamos o teste da razão ao termo geral . Calculamos:
Isso vale para todo x, logo R=infty.
Resposta
A série de Maclaurin de e^5x é sumn=0^infty5^nn!,x^n e o raio de convergência é R=infty.