Questão 03: Determine a série de Maclaurin de f(x). (Assuma que f tem expansão em um série de potências. Não mostre que Rn(x) 0 ). Encontre também o raio de convergência.
f(x)=e^5 x

Passo 1

A gente precisa achar a série de Maclaurin de f(x)=e^5x, ou seja, expandir f(x) em potência de x em torno de zero. O assunto é série de Taylor/Maclaurin e vamos usar a fórmula que diz:
f(x)=sumn=0^infty f^(n)(0)n!x^n

Passo 2

Como f(x)=e^5x, cada derivada de ordem n é f^(n)(x)=5^n e^5x. Avaliando em x=0
f^(n)(0)=5^n

Passo 3

Substituindo f^(n)(0) na fórmula da série de Maclaurin, obtemos:
sumn=0^infty 5^nn!x^n

Passo 4

Para achar o raio de convergência R, aplicamos o teste da razão ao termo geral an=tfrac5^nn!. Calculamos:
limntoinfty|an+1x^n+1anx^n| =limntoinfty5|x|n+1=0<1
Isso vale para todo x, logo R=infty.

Resposta

A série de Maclaurin de e^5x é sumn=0^infty5^nn!,x^n e o raio de convergência é R=infty.

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