Questão 04. TESTE DE HIPÓTESE - MÉDIA ( \mathbf{2 , 5 0} pts) Uma Pesquisa feita e universidade mostrou que professores consultores ganham em média \mu=\mathrm{R} \ 48.000,00 com desvio padrão deã\sigma=\mathrm{R} $7.000,00 . Um deles contestou a pesquisa e disse que a real média seriaé\bar{X}=\mathrm{R} $ 45.678,00 com base em uma amostra de 81 professores. O que o professor disse é válido (nível de significância deéáíâ5 %$ )?

Passo 1

O enunciado trata de um teste de hipótese para a média populacional com desvio padrão populacional conhecido. A pesquisa original indicou \mu_0 = 48\,000, \sigma = 7\,000. O professor contestou com uma amostra de tamanho n = 81 e obteve \bar X = 45\,678. Vamos testar
H_0: \mu = 48\,000 \quad\text{vs.}\quad H_1: \mu < 48\,000
ao nível de significância \alpha = 0{,}05 usando o teste-z.

Passo 2

Definimos as hipóteses do modo seguinte:
H_0: \mu = 48\,000,
H_1: \mu < 48\,000.
Como \sigma é conhecido, usamos a estatística
Z = \frac{\bar X - \mu_0}{\sigma/\sqrt{n}}.

Passo 3

Calculamos Z substituindo os valores:
\sigma/\sqrt{n} = \frac{7\,000}{\sqrt{81}} = \frac{7\,000}{9} \approx 777{,}78,
Z = \frac{45\,678 - 48\,000}{777{,}78} = \frac{-2\,322}{777{,}78} \approx -2{,}99.

Passo 4

Para \alpha = 0{,}05 e teste à esquerda, o valor crítico é
Z_c = -1{,}645.
Como Z = -2{,}99 < -1{,}645, caimos na região de rejeição de H_0.

Passo 5

Rejeitamos H_0 em favor de H_1. Há evidência, ao nível de 5\%, de que a verdadeira média é inferior a 48\,000, logo o que o professor disse é válido.

Resposta

Sim. Rejeita-se H_0 e conclui-se que a média real é menor que R\$\\\ 48000, validando a afirmação do professor.

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