QUESTÃO 03: Lançamentos de moedas para cara e cora também é um jogo recreativo, os experimentos podem se repetir, nas mesmas condições, " n " vezes, porém as provas repetidas devem ser independentes, onde o resultado de uma não afeta os resultados das seguintes.
Uma moeda será lançada 6 vezes e todos os lançamentos são independentes uns dos outros. Determine a probabilidade de obtermos 4 caras.
Uma moeda será lançada 6 vezes e todos os lançamentos são independentes uns dos outros. Determine a probabilidade de obtermos 4 caras.
Passo 1
O enunciado diz que lançamos uma moeda
vezes, todos os lançamentos são independentes e cada lançamento tem apenas duas possibilidades: cara ou coroa. A pergunta é: qual é a probabilidade de obter exatamente
caras nos
lançamentos?
Informações relevantes do enunciado:
Informações relevantes do enunciado:
- Número de lançamentos:
. - Evento de interesse: obter exatamente
caras. - Cada lançamento tem probabilidade de cara
(moeda justa é implícita) e são independentes.
Passo 2
Vamos pensar no espaço amostral (todas as sequências possíveis de resultados). Cada lançamento tem
resultados possíveis e, por independência, o número total de sequências de
lançamentos é
Explicação rápida: se numa etapa há
possibilidades e em outra
, o total sequencial é
. Aqui repetimos isso
vezes, então
. Portanto o total de resultados igualmente prováveis é
.
Passo 3
Agora contamos quantas sequências têm exatamente
caras. Pense assim: escolhemos em quais
das
posições aparecerão as caras; as demais
posições serão coroa. O número de maneiras de escolher
posições entre
é o coeficiente binomial
O coeficiente binomial é calculado por factorials:
Lembrete do que é factorial: para inteiro positivo
,
Calculemos os factorials usados:
Logo
Então há
sequências favoráveis (cada sequência distinta corresponde a uma colocação das
caras).
Passo 4
A probabilidade procurada é o número de sequências favoráveis dividido pelo número total de sequências, pois todos os resultados têm mesma probabilidade
. Assim:
Também podemos usar a fórmula da distribuição binomial (mesma coisa aqui):
com
,
,
, o que dá
Passo 5
Cheque rápido em decimal (opcional, só para intuição):
. Isso significa que obter exatamente
caras em
lançamentos ocorre cerca de
das vezes.