QUESTÃO 03: Lançamentos de moedas para cara e cora também é um jogo recreativo, os experimentos podem se repetir, nas mesmas condições, " n " vezes, porém as provas repetidas devem ser independentes, onde o resultado de uma não afeta os resultados das seguintes.
Uma moeda será lançada 6 vezes e todos os lançamentos são independentes uns dos outros. Determine a probabilidade de obtermos 4 caras.

Passo 1

O enunciado diz que lançamos uma moeda 6 vezes, todos os lançamentos são independentes e cada lançamento tem apenas duas possibilidades: cara ou coroa. A pergunta é: qual é a probabilidade de obter exatamente 4 caras nos 6 lançamentos?
Informações relevantes do enunciado:
  • Número de lançamentos: n=6.
  • Evento de interesse: obter exatamente k=4 caras.
  • Cada lançamento tem probabilidade de cara p=\tfrac{1}{2} (moeda justa é implícita) e são independentes.

Passo 2

Vamos pensar no espaço amostral (todas as sequências possíveis de resultados). Cada lançamento tem 2 resultados possíveis e, por independência, o número total de sequências de 6 lançamentos é
2^{6}.
Explicação rápida: se numa etapa há a possibilidades e em outra b, o total sequencial é a\cdot b. Aqui repetimos isso 6 vezes, então 2\cdot2\cdot2\cdot2\cdot2\cdot2=2^{6}. Portanto o total de resultados igualmente prováveis é \,2^{6}.

Passo 3

Agora contamos quantas sequências têm exatamente 4 caras. Pense assim: escolhemos em quais 4 das 6 posições aparecerão as caras; as demais 2 posições serão coroa. O número de maneiras de escolher 4 posições entre 6 é o coeficiente binomial
\binom{6}{4}.
O coeficiente binomial é calculado por factorials:
\binom{6}{4}=\dfrac{6!}{4!\,2!}.
Lembrete do que é factorial: para inteiro positivo m,
m! = m\cdot(m-1)\cdot(m-2)\cdots 2\cdot1.
Calculemos os factorials usados:
6! = 6\cdot5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1 = 720,
4! = 24,\qquad 2! = 2.
Logo
\binom{6}{4}=\dfrac{720}{24\cdot 2}=\dfrac{720}{48}=15.
Então há 15 sequências favoráveis (cada sequência distinta corresponde a uma colocação das 4 caras).

Passo 4

A probabilidade procurada é o número de sequências favoráveis dividido pelo número total de sequências, pois todos os resultados têm mesma probabilidade 1/2^{6}. Assim:
P(\text{exatamente }4\text{ caras})=\dfrac{\binom{6}{4}}{2^{6}}=\dfrac{15}{2^{6}}=\dfrac{15}{64}.
Também podemos usar a fórmula da distribuição binomial (mesma coisa aqui):
P(X=k)=\binom{n}{k}p^{k}(1-p)^{n-k},
com n=6, k=4, p=\tfrac{1}{2}, o que dá
P(X=4)=\binom{6}{4}\left(\tfrac{1}{2}\right)^{4}\left(\tfrac{1}{2}\right)^{2}=\dfrac{15}{64}.

Passo 5

Cheque rápido em decimal (opcional, só para intuição): \dfrac{15}{64}\approx 0{,}234375. Isso significa que obter exatamente 4 caras em 6 lançamentos ocorre cerca de 23{,}4\% das vezes.

Resposta

\dfrac{15}{64}

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