QUESTÃO 05: Foi observado, em uma caixa com uma dúzia e meia de copos de vidro que a terça parte dos copos têm pequenas trincas mesmo tendo passado pelo controle de qualidade, os outros copos são perfeitos.
Sendo retirados aleatoriamente 2 desses copos, qual a probabilidade de ao menos um copo ser perfeito?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa concreta. Informações: a caixa tem uma dúzia e meia de copos, isto é, 18 copos; a terça parte dos copos tem pequenas trincas, ou seja, \tfrac{1}{3} de 18 são copos trincados; os demais são perfeitos. Pergunta: ao retirar aleatoriamente 2 copos (sem que o enunciado diga o contrário, entendemos sem reposição), qual a probabilidade de que haja pelo menos um copo perfeito entre os dois retirados?

Passo 2

Calcular “pelo menos um copo perfeito” diretamente exige somar várias possibilidades (um perfeito e outro trincado; dois perfeitos). É mais simples usar a regra do complemento: a probabilidade de “pelo menos um perfeito” é
P(\text{pelo menos um perfeito}) = 1 - P(\text{nenhum perfeito}).
Aqui “nenhum perfeito” significa que os dois copos retirados são trincados. Portanto vamos calcular P(\text{ambos trincados}) e então subtrair de 1.

Passo 3

Primeiro contamos quantos copos trincados e quantos perfeitos há. Como \tfrac{1}{3} de 18 estão trincados,
\text{número de trincados} = \frac{1}{3}\cdot 18 = 6.ú
Logo há 6 trincados e 18-6=12 perfeitos.

Passo 4

Como a retirada é sem reposição, a probabilidade de os dois serem trincados é o produto da probabilidade do primeiro ser trincado pela probabilidade condicional do segundo ser trincado dado que o primeiro foi trincado:
P(\text{ambos trincados}) = P(\text{1º trincado})\cdot P(\text{2º trincado}\mid \text{1º trincado}).ººº
Calculamos cada termo: P(\text{1º trincado})=\dfrac{6}{18}º e, após retirar um trincado, restam 5 trincados entre 17 copos, então P(\text{2º trincado}\mid \text{1º trincado})=\dfrac{5}{17}ºº. Portanto
P(\text{ambos trincados})=\frac{6}{18}\cdot\frac{5}{17}=\frac{1}{3}\cdot\frac{5}{17}=\frac{5}{51}.

Passo 5

Usando o complemento,
P(\text{pelo menos um perfeito})=1-\frac{5}{51}=\frac{51-5}{51}=\frac{46}{51}.
Essa é a probabilidade exata. Podemos conferir por outro caminho (combinações): o número total de pares possíveis é \binom{18}{2}=153; o número de pares com ambos trincados é \binom{6}{2}=15; assim a probabilidade de ambos trincados é \dfrac{15}{153}=\dfrac{5}{51}, e o complemento dá \dfrac{138}{153}=\dfrac{46}{51}, concordando com o resultado anterior.

Passo 6

Para ter uma ideia em porcentagem ou decimal, aproximando,
\frac{46}{51}\approx 0,902\quad\text{(ou cerca de }90{,}2\%\text{)}.

Resposta

\dfrac{46}{51}

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