QUESTÃO 05: Foi observado, em uma caixa com uma dúzia e meia de copos de vidro que a terça parte dos copos têm pequenas trincas mesmo tendo passado pelo controle de qualidade, os outros copos são perfeitos.
Sendo retirados aleatoriamente 2 desses copos, qual a probabilidade de ao menos um copo ser perfeito?
Sendo retirados aleatoriamente 2 desses copos, qual a probabilidade de ao menos um copo ser perfeito?
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa concreta. Informações: a caixa tem uma dúzia e meia de copos, isto é,
copos; a terça parte dos copos tem pequenas trincas, ou seja,
de
são copos trincados; os demais são perfeitos. Pergunta: ao retirar aleatoriamente
copos (sem que o enunciado diga o contrário, entendemos sem reposição), qual a probabilidade de que haja pelo menos um copo perfeito entre os dois retirados?
Passo 2
Calcular “pelo menos um copo perfeito” diretamente exige somar várias possibilidades (um perfeito e outro trincado; dois perfeitos). É mais simples usar a regra do complemento: a probabilidade de “pelo menos um perfeito” é
Aqui “nenhum perfeito” significa que os dois copos retirados são trincados. Portanto vamos calcular
e então subtrair de
.
Passo 3
Primeiro contamos quantos copos trincados e quantos perfeitos há. Como
de
estão trincados,
Logo há
trincados e
perfeitos.
Passo 4
Como a retirada é sem reposição, a probabilidade de os dois serem trincados é o produto da probabilidade do primeiro ser trincado pela probabilidade condicional do segundo ser trincado dado que o primeiro foi trincado:
Calculamos cada termo:
e, após retirar um trincado, restam
trincados entre
copos, então
. Portanto
Passo 5
Usando o complemento,
Essa é a probabilidade exata. Podemos conferir por outro caminho (combinações): o número total de pares possíveis é
; o número de pares com ambos trincados é
; assim a probabilidade de ambos trincados é
, e o complemento dá
, concordando com o resultado anterior.
Passo 6
Para ter uma ideia em porcentagem ou decimal, aproximando,