QUESTÃO 04: Uma avaliação é composta por 10 questões e cada uma apresenta cinco alternativas “a, b, c, d, e” para a resposta. Um aluno que resolve a avaliação e assinala as alternativas tem dúvidas quanto às questões.
Calcule a probabilidade do aluno que fez a avaliação acertar 7 questões.
Calcule a probabilidade do aluno que fez a avaliação acertar 7 questões.
Passo 1
O que o enunciado pede: calcular a probabilidade do aluno acertar exatamente 7 questões da avaliação.
Informações dadas:
Há
questões no total.
Cada questão tem
alternativas (
).
O aluno está “assinalando as alternativas” por estar em dúvida — vamos interpretar isso como ele chutando aleatoriamente cada questão, logo a probabilidade de acertar uma questão é a mesma para todas e independente entre questões.
Informações dadas:
Passo 2
Modelo probabilístico (explicação didática): quando temos um número fixo de tentativas independentes (aqui,
questões) e em cada tentativa há somente dois resultados relevantes (acertar = sucesso, errar = falha) com probabilidade fixa de sucesso
, o número de sucessos segue a distribuição binomial.
Nessas condições, chamar de o número de acertos em
questões é natural. Queremos
.
Nessas condições, chamar de
Passo 3
Definir a probabilidade de sucesso numa questão: como o aluno chuta entre
alternativas equiprováveis, a probabilidade de acertar uma questão é
A probabilidade de errar é
Passo 4
Apresentar a fórmula da distribuição binomial e explicar cada termo: para
tentativas, probabilidade de exatamente
sucessos é
onde
(lê-se "combinatória de
escolhe
") conta de quantas formas podemos escolher quais
tentativas serão as sucessos entre as
. Aqui
e
.
Passo 5
Calcular a combinatória
. Usamos a fórmula
Explicando sem pular etapas: podemos simplificar cancelando
:
Passo 6
Substituir tudo na fórmula binomial:
Passo 7
Calcular as potências e multiplicar frações passo a passo:
Logo
Calculemos numerador e denominador:
portanto
Passo 8
Simplificar a fração e obter a forma decimal (explicando os passos aritméticos): dividindo numerador e denominador por
obtemos
Multiplicando numerador e denominador por
(isto é, para transformar o denominador em
) temos
Interpretação rápida: essa probabilidade é muito pequena — faz sentido, porque acertar
de
chutando entre
alternativas é um evento improvável.