QUESTÃO 04: Uma avaliação é composta por 10 questões e cada uma apresenta cinco alternativas “a, b, c, d, e” para a resposta. Um aluno que resolve a avaliação e assinala as alternativas tem dúvidas quanto às questões.
Calcule a probabilidade do aluno que fez a avaliação acertar 7 questões.

Passo 1

O que o enunciado pede: calcular a probabilidade do aluno acertar exatamente 7 questões da avaliação.
Informações dadas:
10 questões no total.
Cada questão tem 5 alternativas ( a,b,c,d,e).
O aluno está “assinalando as alternativas” por estar em dúvida — vamos interpretar isso como ele chutando aleatoriamente cada questão, logo a probabilidade de acertar uma questão é a mesma para todas e independente entre questões.

Passo 2

Modelo probabilístico (explicação didática): quando temos um número fixo de tentativas independentes (aqui, 10 questões) e em cada tentativa há somente dois resultados relevantes (acertar = sucesso, errar = falha) com probabilidade fixa de sucesso p, o número de sucessos segue a distribuição binomial.
Nessas condições, chamar de X o número de acertos em 10 questões é natural. Queremos P(X=7).

Passo 3

Definir a probabilidade de sucesso numa questão: como o aluno chuta entre 5 alternativas equiprováveis, a probabilidade de acertar uma questão é
p=\frac{1}{5}.
A probabilidade de errar é
1-p=\frac{4}{5}.

Passo 4

Apresentar a fórmula da distribuição binomial e explicar cada termo: para n tentativas, probabilidade de exatamente k sucessos é
P(X=k)=\binom{n}{k}p^{k}(1-p)^{n-k},
onde \binom{n}{k} (lê-se "combinatória de n escolhe k") conta de quantas formas podemos escolher quais k tentativas serão as sucessos entre as n. Aqui n=10 e k=7.

Passo 5

Calcular a combinatória \binom{10}{7}. Usamos a fórmula
\binom{10}{7}=\frac{10!}{7!\,3!}.
Explicando sem pular etapas: podemos simplificar cancelando 7!:
\binom{10}{7}=\frac{10\cdot9\cdot8}{3\cdot2\cdot1}=\frac{720}{6}=120.

Passo 6

Substituir tudo na fórmula binomial:
P(X=7)=\binom{10}{7}\left(\frac{1}{5}\right)^7\left(\frac{4}{5}\right)^3 =120\cdot\frac{1}{5^7}\cdot\frac{4^3}{5^3}.

Passo 7

Calcular as potências e multiplicar frações passo a passo:
\left(\frac{1}{5}\right)^7=\frac{1}{78125},\qquad \left(\frac{4}{5}\right)^3=\frac{64}{125}.
Logo
P(X=7)=120\cdot\frac{1}{78125}\cdot\frac{64}{125} =\frac{120\cdot64}{78125\cdot125}.
Calculemos numerador e denominador:
120\cdot64=7680,\qquad 78125\cdot125=9765625,
portanto
P(X=7)=\frac{7680}{9765625}.

Passo 8

Simplificar a fração e obter a forma decimal (explicando os passos aritméticos): dividindo numerador e denominador por 5 obtemos
\frac{1536}{1953125}.
Multiplicando numerador e denominador por 512 (isto é, para transformar o denominador em 10^9) temos
\frac{1536\cdot512}{1953125\cdot512}=\frac{786432}{1000000000}=0{,}000786432.
Interpretação rápida: essa probabilidade é muito pequena — faz sentido, porque acertar 7 de 10 chutando entre 5 alternativas é um evento improvável.

Resposta

\displaystyle P(X=7)=\binom{10}{7}\left(\frac{1}{5}\right)^7\left(\frac{4}{5}\right)^3=\frac{7680}{9765625}=\frac{1536}{1953125}\approx0{,}000786432

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