Questão 03: Uma máquina de empacotar um determinado produto o faz segundo uma distribuição normal, com média
e desvio padrão 10 g .
a) Em quanto deve ser fixado o peso médio para que apenas
dos pacotes tenham menos de 500 g ? Com a máquina assim regulada,
b) qual é a probabilidade de que o peso de um pacote exceda 600 g ?
c) Determine a porcentagem de pacotes em que o peso não se afasta da média em mais que dois desvios padrão.
d) Numa amostra de 120 pacotes, qual é o número esperado de pacotes com menos de 500 g ?
a) Em quanto deve ser fixado o peso médio para que apenas
b) qual é a probabilidade de que o peso de um pacote exceda 600 g ?
c) Determine a porcentagem de pacotes em que o peso não se afasta da média em mais que dois desvios padrão.
d) Numa amostra de 120 pacotes, qual é o número esperado de pacotes com menos de 500 g ?
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede quatro coisas:
- Informação: o peso
dos pacotes segue uma distribuição normal com média (desconhecida) e desvio padrão g. - Pergunta (a): Em quanto deve ser fixado o peso médio
para que apenas dos pacotes tenham menos de g? - Pergunta (b): Com a máquina assim regulada (ou seja, com o
encontrado em (a)), qual é a probabilidade de que o peso de um pacote exceda g? - Pergunta (c): Determine a porcentagem de pacotes em que o peso não se afasta da média em mais que dois desvios padrão (ou seja,
). - Pergunta (d): Numa amostra de
pacotes, qual é o número esperado de pacotes com menos de g?
Passo 2
Conceitos e ferramenta que vamos usar (passo-a-passo didático):
- Quando dizemos que
é normal com média e desvio padrão , escrevemos . - A função acumulada da normal padrão (média
, desvio ) é denotada por com . - Para transformar
em usamos a padronização:
Isto significa que, para qualquer
,
- Se queremos encontrar
a partir de uma probabilidade , usamos o quantil inverso da normal padrão: onde é tal que . Então . - Para valores comuns de
(como , etc.) usamos tabela ou calculadora inversa. O valor padrão que vamos usar é (isto vem da tabela/inversa da normal).
Passo 3
Resolvendo (a) passo a passo:
- Queremos
. - Usando padronização:
- Logo
onde . - Isolando
:
- Calculando:
- Arredondando de forma prática para a regulagem da máquina, podemos usar
.
Passo 4
Resolvendo (b) com a máquina regulada em
:
- Queremos
. Pela padronização:
- Calculamos o
-score:
- Ou seja,
. Esse é um deslocamento de desvios padrão acima da média — extremamente improvável. - Para valores tão grandes de
a tabela normal dá e a cauda é praticamente zero. Podemos estimar a cauda usando a aproximação assintótica da normal:
- Aplicando com
:
- Conclusão: a probabilidade é da ordem de
, isto é, praticamente zero para qualquer uso prático. Podemos reportar
Passo 5
Resolvendo (c) — porcentagem dentro de dois desvios padrão:
- Queremos
com . Pela simetria da normal:
- O valor conhecido é
. - Logo
- Convertendo para porcentagem:
. - Observação didática: este é o famoso “regra empírica” (aproximadamente
dentro de ), aqui com valor mais preciso .
Passo 6
Resolvendo (d) — número esperado em amostra de
:
- A probabilidade de um pacote ter menos de
g foi fixada em . - Em
observações independentes, o número de pacotes com menos de g tem distribuição binomial com média (esperança)
- Calculando:
- Interpretação: em média esperamos
pacotes com menos de g numa amostra de .
Resposta
(a)
\n
(b) \n
(c) \n
(d)
(b)
(c)
(d)