Questão 03: Uma máquina de empacotar um determinado produto o faz segundo uma distribuição normal, com média \mu e desvio padrão 10 g .
a) Em quanto deve ser fixado o peso médio para que apenas 10 \% dos pacotes tenham menos de 500 g ? Com a máquina assim regulada,
b) qual é a probabilidade de que o peso de um pacote exceda 600 g ?
c) Determine a porcentagem de pacotes em que o peso não se afasta da média em mais que dois desvios padrão.
d) Numa amostra de 120 pacotes, qual é o número esperado de pacotes com menos de 500 g ?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede quatro coisas:
  • Informação: o peso X dos pacotes segue uma distribuição normal com média \mu (desconhecida) e desvio padrão \sigma=10 g.
  • Pergunta (a): Em quanto deve ser fixado o peso médio \mu para que apenas 10\% dos pacotes tenham menos de 500 g?
  • Pergunta (b): Com a máquina assim regulada (ou seja, com o \mu encontrado em (a)), qual é a probabilidade de que o peso de um pacote exceda 600 g?
  • Pergunta (c): Determine a porcentagem de pacotes em que o peso não se afasta da média em mais que dois desvios padrão (ou seja, |X-\mu|\le 2\sigma).
  • Pergunta (d): Numa amostra de 120 pacotes, qual é o número esperado de pacotes com menos de 500 g?

Passo 2

Conceitos e ferramenta que vamos usar (passo-a-passo didático):
  • Quando dizemos que X é normal com média \mu e desvio padrão \sigma, escrevemos \;X\sim N(\mu,\sigma^{2})\;.
  • A função acumulada da normal padrão (média 0, desvio 1) é denotada por \Phi(z)=P(Z\le z) com Z\sim N(0,1).
  • Para transformar X em Z usamos a padronização:
Z=\frac{X-\mu}{\sigma}.
Isto significa que, para qualquer a,
P(X<a)=P\!\left(Z<\frac{a-\mu}{\sigma}\right)=\Phi\!\left(\frac{a-\mu}{\sigma}\right).
  • Se queremos encontrar \mu a partir de uma probabilidade P(X<a)=p, usamos o quantil inverso da normal padrão: \frac{a-\mu}{\sigma}=z_p onde z_p é tal que \Phi(z_p)=p. Então \mu=a-\sigma z_p.
  • Para valores comuns de z_p (como p=0,10, p=0,95 etc.) usamos tabela z ou calculadora inversa. O valor padrão que vamos usar é z_{0,10}\approx -1,2816 (isto vem da tabela/inversa da normal).

Passo 3

Resolvendo (a) passo a passo:
  • Queremos P(X<500)=0,10.
  • Usando padronização:
\Phi\!\left(\frac{500-\mu}{10}\right)=0,10.
  • Logo \displaystyle \frac{500-\mu}{10}=z_{0,10} onde z_{0,10}\approx -1,2816.
  • Isolando \mu:
\mu = 500 - 10\cdot z_{0,10} = 500 - 10\cdot(-1,2816).
  • Calculando:
\mu = 500 + 12,816 = 512,816\\ \text{g}.
  • Arredondando de forma prática para a regulagem da máquina, podemos usar \mu\approx 512,82\\ \text{g}.

Passo 4

Resolvendo (b) com a máquina regulada em \mu\approx 512,816\\ \text{g}:
  • Queremos P(X>600). Pela padronização:
P(X>600)=1-\Phi\!\left(\frac{600-\mu}{10}\right).
  • Calculamos o z-score:
\frac{600-\mu}{10}=\frac{600-512,816}{10}=\frac{87,184}{10}=8,7184.
  • Ou seja, z\approx 8,7184. Esse é um deslocamento de 8{,}7 desvios padrão acima da média — extremamente improvável.
  • Para valores tão grandes de z a tabela normal dá \Phi(z)\approx 1 e a cauda é praticamente zero. Podemos estimar a cauda usando a aproximação assintótica da normal:
P(Z>z)\approx \frac{1}{z\sqrt{2\pi}}e^{-z^{2}/2}.
  • Aplicando com z=8,7184:
z^{2}/2 \approx 38{,}0105,\qquad e^{-z^{2}/2}\approx 3{,}35\times 10^{-17},
z\sqrt{2\pi}\approx 8{,}7184\cdot 2{,}5066\approx 21{,}85,
P(Z>8{,}7184)\approx \frac{1}{21{,}85}\cdot 3{,}35\times 10^{-17}\approx 1{,}53\times 10^{-18}.
  • Conclusão: a probabilidade é da ordem de 10^{-18}, isto é, praticamente zero para qualquer uso prático. Podemos reportar
P(X>600)\approx 1{,}5\times 10^{-18}.

Passo 5

Resolvendo (c) — porcentagem dentro de dois desvios padrão:
  • Queremos P(|X-\mu|\le 2\sigma) com \sigma=10. Pela simetria da normal:
P(|X-\mu|\le 2\sigma)=\Phi(2)-\Phi(-2)=2\Phi(2)-1.
  • O valor conhecido é \Phi(2)\approx 0{,}97725.
  • Logo
P(|X-\mu|\le 2\sigma)=2\cdot 0{,}97725-1=0{,}9545.
  • Convertendo para porcentagem: 95{,}45\%.
  • Observação didática: este é o famoso “regra empírica” (aproximadamente 95\% dentro de 2\sigma), aqui com valor mais preciso 95{,}45\%.

Passo 6

Resolvendo (d) — número esperado em amostra de 120:
  • A probabilidade de um pacote ter menos de 500 g foi fixada em p=0{,}10.
  • Em n=120 observações independentes, o número de pacotes com menos de 500 g tem distribuição binomial com média (esperança)
E[\text{contagem}]=n p = 120\cdot 0{,}10.
  • Calculando:
E[\text{contagem}]=12.
  • Interpretação: em média esperamos 12 pacotes com menos de 500 g numa amostra de 120.

Resposta

(a) \mu\approx 512{,}82\\ \text{g}\n
(b) P(X>600)\approx 1{,}5\times 10^{-18}\n
(c) 95{,}45\%\n
(d) 12

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