Questão 02: Supondo que a altura X de um estudante, tomado ao acaso da sala de Meio Ambiente, tenha distribuição normal com média 162,5 \mathrm{~cm} e desvio padrão 6,7 \mathrm{~cm}.
Qual o número esperado de alunos com altura superior a 165 cm ?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pergunta o que segue.
  • Informação: a altura X de um estudante, tomado ao acaso da sala de Meio Ambiente, tem distribuição normal com média \mu=162{,}5 cm e desvio padrão \sigma=6{,}7 cm.
  • Pergunta: “Qual o número esperado de alunos com altura superior a 165 cm?”
Observação (não vou te pedir nada): como o enunciado não especifica quantos alunos tem a sala, eu vou chamar de n o número total de alunos da sala e dar a resposta em função de n. Se você souber o valor de n, basta substituir no resultado final.

Passo 2

Entendendo o que significa “número esperado” aqui.
  • Para cada aluno, definir a variável indicadora I = \begin{cases} 1, & \text{se a altura do aluno é maior que }165\text{ cm},\\[4pt] 0, & \text{caso contrário.} \end{cases}éáEntão I é uma variável aleatória com média \mathbb{E}[I]=\mathbb{P}(X>165).
  • Se assumirmos que as alturas dos n alunos são independentes e idênticas (mesma distribuição), o número total de alunos com altura maior que 165 cm é a soma de n indicadores idênticos. Essa soma tem distribuição binomial \mathrm{Bin}(n,p) com p=\mathbb{P}(X>165).
  • A propriedade útil: a esperança (valor esperado) de uma \mathrm{Bin}(n,p) é \mathbb{E}[\text{nº de alunos}] = n\cdot p.ºPortanto, para responder à pergunta precisamos calcular p=\mathbb{P}(X>165) e depois multiplicar por n.]

Passo 3

Calcular p=\mathbb{P}(X>165) transformando para a normal padrão.
  • Definição do escore z (z‑score): para uma variável normal X com média \mu e desvio padrão \sigma, Z=\frac{X-\mu}{\sigma}é uma normal padrão (média 0, desvio padrão 1).
  • Então \mathbb{P}(X>165)=\mathbb{P}\!\left(\frac{X-\mu}{\sigma}>\frac{165-\mu}{\sigma}\right)=\mathbb{P}\!\left(Z>\frac{165-162{,}5}{6{,}7}\right).
  • Calcule o numerador e a razão: 165-162{,}5=2{,}5,
z=\frac{2{,}5}{6{,}7}\approx 0{,}3731.

Passo 4

Passar do z para a probabilidade usando a função de distribuição da normal padrão.
  • Notação: seja \Phi(z)=\mathbb{P}(Z\le z) a função de distribuição da normal padrão. Então \mathbb{P}(X>165)=1-\Phi\!\left(0{,}3731\right).
  • Usando a tabela da normal padrão (ou calculadora): os valores tabelados mais próximos são \Phi(0{,}37)=0{,}6443,\qquad \Phi(0{,}38)=0{,}6480.Interpolando para 0{,}3731 obtemos aproximadamente \Phi(0{,}3731)\approx 0{,}6455.
  • Portanto \mathbb{P}(X>165)\approx 1-0{,}6455=0{,}3545.

Passo 5

Interpretar e escrever o número esperado.
  • Como vimos, se a sala tem n alunos independentes, o número esperado de alunos com altura superior a 165 cm é \mathbb{E}[\text{nº de alunos}] = n\cdot \mathbb{P}(X>165)\approx n\cdot 0{,}3545.º
  • Em porcentagem, isso corresponde a aproximadamente 35{,}45\% dos alunos.
  • Exemplo prático: se n=30 alunos, o número esperado é 30\cdot 0{,}3545\approx 10{,}64, ou seja, em média cerca de 11 alunos (arredondando).

Resposta

\displaystyle n\cdot 0{,}3545 (aproximadamente, ou seja, cerca de 35{,}45\% dos alunos)

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