Questão 02: Supondo que a altura
de um estudante, tomado ao acaso da sala de Meio Ambiente, tenha distribuição normal com média
e desvio padrão
.
Qual o número esperado de alunos com altura superior a 165 cm ?
Qual o número esperado de alunos com altura superior a 165 cm ?
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pergunta o que segue.
- Informação: a altura
de um estudante, tomado ao acaso da sala de Meio Ambiente, tem distribuição normal com média cm e desvio padrão cm. - Pergunta: “Qual o número esperado de alunos com altura superior a
cm?”
Observação (não vou te pedir nada): como o enunciado não especifica quantos alunos tem a sala, eu vou chamar de
o número total de alunos da sala e dar a resposta em função de
. Se você souber o valor de
, basta substituir no resultado final.
Passo 2
Entendendo o que significa “número esperado” aqui.
- Para cada aluno, definir a variável indicadora
Então é uma variável aleatória com média . - Se assumirmos que as alturas dos
alunos são independentes e idênticas (mesma distribuição), o número total de alunos com altura maior que cm é a soma de indicadores idênticos. Essa soma tem distribuição binomial com . - A propriedade útil: a esperança (valor esperado) de uma
é Portanto, para responder à pergunta precisamos calcular e depois multiplicar por .]
Passo 3
Calcular
transformando para a normal padrão.
- Definição do escore
(z‑score): para uma variável normal com média e desvio padrão , é uma normal padrão (média , desvio padrão ). - Então
- Calcule o numerador e a razão:
Passo 4
Passar do
para a probabilidade usando a função de distribuição da normal padrão.
- Notação: seja
a função de distribuição da normal padrão. Então - Usando a tabela da normal padrão (ou calculadora): os valores tabelados mais próximos são
Interpolando para obtemos aproximadamente - Portanto
Passo 5
Interpretar e escrever o número esperado.
- Como vimos, se a sala tem
alunos independentes, o número esperado de alunos com altura superior a cm é - Em porcentagem, isso corresponde a aproximadamente
dos alunos. - Exemplo prático: se
alunos, o número esperado é , ou seja, em média cerca de alunos (arredondando).