Questão 04: Usa-se um aparelho de radar para medir a velocidade dos carros numa rodovia na hora do “pico”. As velocidades dos carros seguem o modelo normal de probabilidade com média
. Determinar:
a) O desvio padrão das velocidades, se
dos carros ultrapassam
;
b) A porcentagem dos carros que trafegam a menos de
;
c) O intervalo central de valores de velocidade tal que
dos automóveis circulam, no horário do “pico” nessa rodovia, com velocidade nesse intervalo?
a) O desvio padrão das velocidades, se
b) A porcentagem dos carros que trafegam a menos de
c) O intervalo central de valores de velocidade tal que
Passo 1
O enunciado diz que as velocidades seguem um modelo normal com média
km/h. Perguntas:
a) Determinar o desvio padrão sabendo que
dos carros ultrapassam
km/h (ou seja,
).
b) Determinar a porcentagem dos carros que trafegam a menos de km/h (ou seja, calcular
).
c) Encontrar o intervalo central de velocidades que contém dos automóveis (intervalo simétrico em torno da média).
Informações relevantes dadas: km/h e
.
a) Determinar o desvio padrão
b) Determinar a porcentagem dos carros que trafegam a menos de
c) Encontrar o intervalo central de velocidades que contém
Informações relevantes dadas:
Passo 2
Conceitos fundamentais que vamos usar (explicação passo-a-passo e simples):
- A variável velocidade será tratada como
, isto é, uma normal com média e variância . Aqui . - Para comparar qualquer valor
com a normal padrão, usamos o escore padronizado (z-score):
Isso transforma
numa variável
com distribuição
(média 0 e variância 1). Explicando: subtraímos a média para centralizar e dividimos por
para ajustar a escala.
- Probabilidades da normal padrão
são tabeladas; por exemplo, é a função de distribuição acumulada . Para encontrar um valor correspondente a uma probabilidade, usamos a tabela inversa ( ), ou calculadora. - Para um intervalo central de probabilidade
(aqui ), as caudas têm probabilidade cada; o ponto crítico é tal que .
Vou aplicar essas ideias passo a passo às três letras.
Passo 3
Resolução da letra (a): transformar a condição em termos de
.
A condição dada é . Usando
,
A condição dada é
Logo o valor
é o quantil superior tal que a área à direita é
. Isto significa que a área acumulada até esse ponto é
. Em símbolos:
Passo 4
Ainda (a): usar o quantil da normal padrão.
O valor tal que
é aproximadamente
(tabelas ou calculadora). Portanto
O valor
Resolvendo para
,
Interpretação rápida: o desvio padrão é cerca de
km/h, ou seja, a maior parte das velocidades se concentra em torno de
com espalhamento dessa ordem.
Passo 5
Resolução da letra (b): queremos
. Primeiro padronizamos:
Usamos o valor de
obtido em (a):
. Então
Passo 6
Ainda (b): calcular a probabilidade usando a simetria da normal.
Sabemos que . Então
Sabemos que
Consultando tabela ou calculadora,
. Assim
ou seja, aproximadamente
dos carros trafegam a menos de
km/h.
Passo 7
Resolução da letra (c): intervalo central que contém
das observações.
Queremos um intervalo simétrico em torno da média com probabilidade
. Então as duas caudas juntas têm probabilidade
, ou seja, cada cauda tem
. O ponto crítico positivo
satisfaz
. Da tabela,
.
O intervalo em termos de é
Queremos um intervalo simétrico em torno da média
O intervalo em termos de
Passo 8
Ainda (c): calcular numericamente com
.
Portanto o intervalo é
ou seja aproximadamente
Interpretação: cerca de
dos carros circulam com velocidade entre
e
km/h no horário do pico.
Resposta
(a)
(b)
(aprox.
)
(c) Intervalo aproximadamente
até