Questão 04: Usa-se um aparelho de radar para medir a velocidade dos carros numa rodovia na hora do “pico”. As velocidades dos carros seguem o modelo normal de probabilidade com média 79 \mathrm{~km} / \mathrm{h}. Determinar:
a) O desvio padrão das velocidades, se 3 \% dos carros ultrapassam 90 \mathrm{~km} / \mathrm{h};
b) A porcentagem dos carros que trafegam a menos de 75 \mathrm{~km} / \mathrm{h};
c) O intervalo central de valores de velocidade tal que 90 \% dos automóveis circulam, no horário do “pico” nessa rodovia, com velocidade nesse intervalo?

Passo 1

O enunciado diz que as velocidades seguem um modelo normal com média \mu=79 km/h. Perguntas:
a) Determinar o desvio padrão \sigma sabendo que 3\% dos carros ultrapassam 90 km/h (ou seja, P(X>90)=0,03).
b) Determinar a porcentagem dos carros que trafegam a menos de 75 km/h (ou seja, calcular P(X<75)).
c) Encontrar o intervalo central de velocidades que contém 90\% dos automóveis (intervalo simétrico em torno da média).
Informações relevantes dadas: \mu=79 km/h e P(X>90)=0,03.

Passo 2

Conceitos fundamentais que vamos usar (explicação passo-a-passo e simples):
  • A variável velocidade será tratada como X\sim N(\mu,\sigma^2), isto é, uma normal com média \mu e variância \sigma^2. Aqui \mu=79.
  • Para comparar qualquer valor x com a normal padrão, usamos o escore padronizado (z-score):
Z=\frac{X-\mu}{\sigma}.
Isso transforma X numa variável Z com distribuição N(0,1) (média 0 e variância 1). Explicando: subtraímos a média para centralizar e dividimos por \sigma para ajustar a escala.
  • Probabilidades da normal padrão Z são tabeladas; por exemplo, P(Z \le z) é a função de distribuição acumulada \Phi(z). Para encontrar um valor z correspondente a uma probabilidade, usamos a tabela inversa ( \Phi^{-1}), ou calculadora.
  • Para um intervalo central de probabilidade 1-\alpha (aqui 0,90), as caudas têm probabilidade \alpha/2 cada; o ponto crítico é z_{1-\alpha/2} tal que \Phi(z_{1-\alpha/2})=1-\alpha/2.
Vou aplicar essas ideias passo a passo às três letras.

Passo 3

Resolução da letra (a): transformar a condição em termos de Z.
A condição dada é P(X>90)=0,03. Usando Z,
P(X>90)=P\!\left(\frac{X-\mu}{\sigma}>\frac{90-\mu}{\sigma}\right)=P\!\left(Z>\frac{90-79}{\sigma}\right)=0,03.
Logo o valor \dfrac{90-79}{\sigma} é o quantil superior tal que a área à direita é 0,03. Isto significa que a área acumulada até esse ponto é 1-0,03=0,97. Em símbolos:
\Phi\!\left(\frac{11}{\sigma}\right)=0,97.

Passo 4

Ainda (a): usar o quantil da normal padrão.
O valor z tal que \Phi(z)=0,97 é aproximadamente z\approx 1,8808 (tabelas ou calculadora). Portanto
\frac{11}{\sigma}=1,8808.
Resolvendo para \sigma,
\sigma=\frac{11}{1,8808}\approx 5{,}85\\ \text{km/h}.
Interpretação rápida: o desvio padrão é cerca de 5{,}85 km/h, ou seja, a maior parte das velocidades se concentra em torno de 79 com espalhamento dessa ordem.

Passo 5

Resolução da letra (b): queremos P(X<75). Primeiro padronizamos:
P(X<75)=P\!\left(Z<\frac{75-79}{\sigma}\right)=P\!\left(Z<\frac{-4}{\sigma}\right).
Usamos o valor de \sigma obtido em (a): \sigma\approx 5{,}85. Então
\frac{75-79}{\sigma}=\frac{-4}{5{,}85}\approx -0{,}684.

Passo 6

Ainda (b): calcular a probabilidade usando a simetria da normal.
Sabemos que \Phi(-z)=1-\Phi(z). Então
P(X<75)=\Phi(-0{,}684)=1-\Phi(0{,}684).
Consultando tabela ou calculadora, \Phi(0{,}684)\approx 0{,}7525. Assim
P(X<75)\approx 1-0{,}7525=0{,}2475,
ou seja, aproximadamente 24{,}75\% dos carros trafegam a menos de 75 km/h.

Passo 7

Resolução da letra (c): intervalo central que contém 90\% das observações.
Queremos um intervalo simétrico em torno da média \mu com probabilidade 0{,}90. Então as duas caudas juntas têm probabilidade 0{,}10, ou seja, cada cauda tem 0{,}05. O ponto crítico positivo z_{0{,}95} satisfaz \Phi(z_{0{,}95})=0{,}95. Da tabela, z_{0{,}95}\approx 1{,}645.
O intervalo em termos de X é
\mu \pm z_{0{,}95}\sigma = 79 \pm 1{,}645\cdot\sigma.

Passo 8

Ainda (c): calcular numericamente com \sigma\approx 5{,}85.
1{,}645\cdot 5{,}85 \approx 9{,}63.
Portanto o intervalo é
79-9{,}63 \quad\text{até}\quad 79+9{,}63,é
ou seja aproximadamente
69{,}37\\ \text{km/h}\\ \text{até}\\\ 88{,}63\\ \text{km/h}.é
Interpretação: cerca de 90\% dos carros circulam com velocidade entre 69{,}37 e 88{,}63 km/h no horário do pico.

Resposta

(a) \sigma\approx 5{,}85\\ \text{km/h}
(b) P(X<75)\approx 0{,}2475 (aprox. 24{,}75\%)
(c) Intervalo aproximadamente 69{,}37\\ \text{km/h} até 88{,}63\\ \text{km/h}

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