QUESTÃO 03

O modelo de átomo proposto pelo físico dinamarquês Niels Bohr, em 1913, foi o primeiro a explicar satisfatoriamente o espectro descontínuo do átomo de hidrogênio. Dentre as suposições para esse modelo, é correto afirmar que o elétron:
a) move-se apenas em trajetórias bem definidas.
b) descreve uma trajetória elíptica em torno do núcleo.
c) emite radiação quando se encontra em uma órbita permitida.
d) gira em torno do núcleo devido a uma força atrativa de natureza magnética.
e) emite um fóton ao saltar de uma trajetória de menor energia para outra de maior energia.

Passo 1

O enunciado pede para identificar qual das alternativas (a) a (e) corresponde a uma suposição correta do modelo de Bohr para o átomo de hidrogênio. As alternativas dadas são:
  • a) o elétron move-se apenas em trajetórias bem definidas.
  • b) o elétron descreve uma trajetória elíptica em torno do núcleo.
  • c) o elétron emite radiação quando se encontra em uma órbita permitida.
  • d) o elétron gira em torno do núcleo devido a uma força atrativa de natureza magnética.
  • e) o elétron emite um fóton ao saltar de uma trajetória de menor energia para outra de maior energia.
Não há outros dados no enunciado além dessas alternativas; a tarefa é escolher a alternativa correta e justificá-la.

Passo 2

Apresentando as suposições principais do modelo de Bohr (explicadas passo a passo, sem pular etapas):
  • Bohr postulou que os elétrons se movem em órbitas circulares discretas e “permitidas” ao redor do núcleo; cada órbita é chamada de órbita estacionária. Isso quer dizer que o elétron não pode ter qualquer raio/energia, apenas certos valores permitidos enumerados por um número inteiro n=1,2,3,\dots.
  • A quantização do momento angular é a hipótese-chave de Bohr: o momento angular do elétron vale
L = n\hbar,
onde n é o número quântico principal (um inteiro positivo) e \hbar é a constante de Planck reduzida ( \hbar=\dfrac{h}{2\pi}). Aqui, L é definido como L = m_e v r, com m_e massa do elétron, v velocidade e r raio da órbita.
Explicando as variáveis:
  • m_e: massa do elétron (constante).
  • v: velocidade do elétron na órbita considerada.
  • r: raio da órbita.
  • n: inteiro que identifica a órbita permitida.
  • \hbar: constante conhecida, \hbar\approx1{,}054\times10^{-34}\\ \text{J·s}.

Passo 3

Derivação sucinta das fórmulas de órbita e energia (passo a passo, mostrando as contas):
  1. A força centrípeta que mantém o elétron em órbita é a força eletrostática de Coulomb entre carga do núcleo ( +e) e a do elétron ( -e):
\frac{m_e v^2}{r} = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{e^2}{r^2}.
  1. A quantização do momento angular dá
m_e v r = n\hbar \quad\Rightarrow\quad v = \frac{n\hbar}{m_e r}.
  1. Substituindo v da equação (2) em (1):
m_e\!\left(\frac{n\hbar}{m_e r}\right)^{\!2} = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{e^2}{r}.
Simplificando:
\frac{n^{2}\hbar^{2}}{m_e r^{2}} = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{e^2}{r} \quad\Rightarrow\quad r = \frac{4\pi\varepsilon_0 n^{2}\hbar^{2}}{m_e e^{2}}.
  1. Definimos o raio de Bohr
a_0 = \frac{4\pi\varepsilon_0 \hbar^{2}}{m_e e^{2}},
assim obtemos as órbitas
r_n = n^{2} a_0.
  1. Energia total (cinética K mais potencial U):
  • A partir de (1) m_e v^2 = \dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}\dfrac{e^2}{r}, temos K=\dfrac{1}{2}m_e v^2 = \dfrac{1}{2}\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}\dfrac{e^2}{r}.
  • A energia potencial eletrostática é U = -\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}\dfrac{e^2}{r}.
  • Portanto a energia total é
E = K+U = -\frac{1}{2}\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{e^2}{r}.
Substituindo r=r_n e simplificando obtém-se a forma bem conhecida
E_n = -\frac{13{,}6\\ \text{eV}}{n^{2}}.
Comentário: essas contas mostram que somente certos raios r_n e energias E_n são permitidos — ou seja, “trajetórias bem definidas” e energias quantizadas.

Passo 4

Como o modelo trata emissão/absorção de radiação:
  • Bohr propôs que quando um elétron permanece em uma órbita estacionária permitida ele NÃO emite radiação, apesar de classica­mente uma carga acelerada (movimento circular) radiaria. Essa foi uma hipótese ad-hoc de Bohr para explicar a estabilidade do átomo.
  • Radiação eletromagnética (fóton) é emitida ou absorvida apenas quando o elétron salta entre órbitas com energias diferentes. A energia do fóton corresponde à diferença de energia entre as duas órbitas:
\Delta E = E_f - E_i = h\nu,
onde h é a constante de Planck e \nu a frequência do fóton. Se E_f<E_i (o elétron vai para órbita de menor energia), então \Delta E<0 e ocorre emissão de fóton com energia h\nu = E_i-E_f. Se E_f>E_i, o elétron absorve um fóton de energia h\nu = E_f-E_i.

Passo 5

Análise das alternativas (comparando com o que aprendemos):
  • a) “move-se apenas em trajetórias bem definidas.” Isso está de acordo com a suposição de Bohr de que existem apenas órbitas permitidas e bem definidas (os valores r_n e E_n). Portanto a descrição encaixa na hipótese de Bohr.
  • b) “descreve uma trajetória elíptica em torno do núcleo.” Falso para o modelo original de Bohr: ele assumiu órbitas circulares. (Mais tarde, Sommerfeld generalizou para órbitas elípticas, mas isso não é parte do modelo inicial de 1913.)
  • c) “emite radiação quando se encontra em uma órbita permitida.” Falso: Bohr supôs que em órbitas estacionárias permitidas o elétron NÃO emite radiação; a emissão ocorre apenas durante transições entre órbitas.
  • d) “gira em torno do núcleo devido a uma força atrativa de natureza magnética.” Falso: a força que mantém o elétron em órbita é a força eletrostática (Coulomb), de natureza elétrica, não magnética.
  • e) “emite um fóton ao saltar de uma trajetória de menor energia para outra de maior energia.” Falso: ao saltar de menor para maior energia o elétron precisa absorver energia (absorção de fóton); emissão ocorre no salto de maior para menor energia.

Resposta

a)

Exercícios relacionados