QUESTÃO 49

Em 11 de março de 2020, a OMS declarou a pandemia do novo coronavírus, Sars-Cov-2, causador da doença CoVid-19. Diversas instituições de saúde e governos pelo mundo adotaram medidas não farmacológicas e restrições sociais, como distanciamento social, uso de álcool, aferição de temperatura etc. Em algumas lojas de departamento, usa-se pirômetro, conhecido popularmente por termômetro de testa ou infravermelho, para aferir a temperatura dos clientes pela potência de radiação infravermelha emitido por estes. Um pirômetro é ajustado para a pele humana, sendo a emissividade próxima de 1,0 . Quando apontado para testa de um cliente a 30 cm , a potência de radiação capturada é 1,3 \mathrm{~W} em uma área de 24 \mathrm{~cm}^{2} de pele. Qual é a temperatura aproximada, em { }^{\circ} \mathrm{C}, desse cliente?
(Dados: constante de Stefan Boltzmann = 5,7 \times 10^{-8} \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{2} \cdot \mathrm{~K}^{4} ; \pi=3 ; 95^{0,25}=3,12.
a) 35,0
b) 36,0
c) 37,0
d) 38,0
e) 39,0

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que se pede (peguei estes números do enunciado):
  • Potência de radiação capturada: P=1,3\\ \mathrm{W}.
  • Área da pele observada pelo pirômetro: A=24\\ \mathrm{cm}^2.
  • Emissividade da pele (ajuste do pirômetro): aproximadamente \epsilon\approx1{,}0.
  • Constante de Stefan–Boltzmann: \sigma=5{,}7\times10^{-8}\\ \mathrm{W}\cdot\mathrm{m}^{-2}\cdot\mathrm{K}^{-4} (fornecida).
  • Distância do aparelho à testa: 30\\ \mathrm{cm} (informação dada; não será necessária se a potência capturada já refere-se à área indicada).
    O que se pede: encontrar a temperatura aproximada desse cliente em {}^{\circ}\mathrm{C}.

Passo 2

Explicando a lei que vamos usar (aula rápida e simples): a lei de Stefan–Boltzmann diz que a potência radiada por unidade de área (emissão térmica) de um corpo ideal é proporcional à quarta potência da sua temperatura absoluta. A forma usada aqui é:
j=\epsilon\,\sigma\,T^{4},
onde:
  • j é a potência por unidade de área (em \mathrm{W}/\mathrm{m}^2),
  • \epsilon é a emissividade (adimensional, varia entre 0 e 1; para pele foi dado \approx1),
  • \sigma é a constante de Stefan–Boltzmann ( \mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}\,\mathrm{K}^{-4}),
  • T é a temperatura absoluta em kelvin ( \mathrm{K}).
    Para uma área A a potência total emitida é
P=\epsilon\,\sigma\,A\,T^{4}.
Essa é a fórmula que vamos usar para achar T.

Passo 3

Isolando T na fórmula temos:
T=\left(\dfrac{P}{\epsilon\,\sigma\,A}\right)^{1/4}.
Aqui T virá em kelvin. Depois converteremos para graus Celsius pela relação
T(^{\circ}\mathrm{C})=T(\mathrm{K})-273.

Passo 4

Converter a área dada para metros quadrados:
A=24\\ \mathrm{cm}^2=24\times10^{-4}\\ \mathrm{m}^2=2{,}4\times10^{-3}\\ \mathrm{m}^2.

Passo 5

Calcular \epsilon\,\sigma\,A. Como \epsilon\approx1{,}0,
\epsilon\,\sigma\,A\approx(1{,}0)\times\bigl(5{,}7\times10^{-8}\bigr)\times\bigl(2{,}4\times10^{-3}\bigr).
Multiplicando os coeficientes:
5{,}7\times2{,}4=13{,}68,
e os expoentes:
10^{-8}\times10^{-3}=10^{-11}.
Logo
\epsilon\,\sigma\,A\approx13{,}68\times10^{-11}=1{,}368\times10^{-10}\\ \mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}\,\mathrm{K}^{-4}\\ (\text{unidades combinadas}).

Passo 6

Calcular o quociente P/(\epsilon\sigma A):
\frac{P}{\epsilon\,\sigma\,A}=\frac{1{,}3}{1{,}368\times10^{-10}}.
Fazendo a divisão:
\frac{1{,}3}{1{,}368\times10^{-10}}\approx9{,}509\times10^{9}.
Agora a temperatura:
T=\bigl(9{,}509\times10^{9}\bigr)^{1/4}.
Reescrevendo para facilitar a raiz quarta:
9{,}509\times10^{9}=95{,}09\times10^{8},
portanto
T=(95{,}09)^{1/4}\times(10^{8})^{1/4}=(95{,}09)^{0{,}25}\times10^{2}.
O enunciado nos deu a aproximação (95)^{0{,}25}=3{,}12. Como 95{,}09 é muito próximo de 95, usamos essa aproximação:
T\approx3{,}12\times100=312\\ \mathrm{K}.

Passo 7

Converter para graus Celsius:
T(^{\circ}\mathrm{C})=312-273=39\\ ^{\circ}\mathrm{C}.
Interpretação rápida e encorajamento: o cálculo dá aproximadamente 39{}^\circ\mathrm{C}; parece alto para pele, mas é o valor resultante dos números fornecidos. Está tudo certo com a conta — relaxa, tu conseguiu aplicar a lei certinha!

Resposta

e) 39,0

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