QUESTÃO 03 - Um mol de um gás ideal tem sua capacidade calorífica dependente da temperatura conforme a equação
\mathrm{C}_{\mathrm{p}}(\mathrm{J} / \mathrm{K})=20,17+0,4001 \mathrm{~T}. Calcule a geração de calor e trabalho e a variação da energia interna e da entalpia num processo de aquecimento de 0^{\circ} \mathrm{C} a 100^{\circ} \mathrm{C} se:
o processo é executado num vaso rígido.

Passo 1

O enunciado fornece os seguintes dados e pede as grandezas indicadas:
  • Quantidade de substância: n=1 mol.
  • Capacidade calorífica molar à pressão constante: \displaystyle C_{p}(T)=20{,}17+0{,}4001\,T (unidade: \mathrm{J/K}).
  • Processo de aquecimento de 0^\circ\mathrm{C} até 100^\circ\mathrm{C}.
  • O processo ocorre em vaso rígido (volume constante).
Perguntas a responder:
  1. Calcule a geração de calor Q (calor recebido pelo gás).
  2. Calcule o trabalho W realizado pelo gás.
  3. Calcule a variação da energia interna \Delta U.
  4. Calcule a variação da entalpia \Delta H.
Informações adicionais necessárias que usarei (forneço sem assumir que você já sabe):
  • Constante dos gases ideais: \displaystyle R=8{,}314\\ \mathrm{J/(mol\cdot K)}.
  • Conversão de temperaturas: 0^\circ\mathrm{C}=273{,}15\\ \mathrm{K} e 100^\circ\mathrm{C}=373{,}15\\ \mathrm{K}.

Passo 2

Conceitos e relações fundamentais que vou usar (explicação didática):
  • Para um gás ideal mono- ou poliatômico ideal, as capacidades molares estão relacionadas por
C_{p}(T)=C_{v}(T)+R,
onde C_{p}(T) é a capacidade molar a pressão constante, C_{v}(T) a capacidade molar a volume constante, e R a constante dos gases. Cada termo tem unidade \mathrm{J/(mol\cdot K)}. Isso vem da definição de entalpia H=U+pV e da equação de estado ideal pV=RT.
  • Em processo a volume constante, o trabalho de pressão-volume é nulo:
W= \int p\,dV =0.
  • Primeira lei da termodinâmica (para uma quantidade de substância n):
\Delta U = Q + W.
Em volume constante, como W=0, temos \Delta U = Q.
  • Variação de energia interna (por mole) para gás ideal depende apenas da temperatura:
\Delta U = n\int_{T_i}^{T_f} C_{v}(T)\,dT.
  • Variação de entalpia:
\Delta H = n\int_{T_i}^{T_f} C_{p}(T)\,dT.
Vou aplicar essas fórmulas com n=1 e integrar entre T_i=273{,}15\\ \mathrm{K} e T_f=373{,}15\\ \mathrm{K}. Observação: usar Kelvin aqui é obrigatório porque as capacidades dependem de T absoluto; porém a variação \Delta T vale 100\\ \mathrm{K} independentemente da escala Celsius/Kelvin.

Passo 3

Determine C_{v}(T) a partir de C_{p}(T):
C_{v}(T)=C_{p}(T)-R.
Substituindo os valores:
C_{v}(T)=\bigl(20{,}17+0{,}4001\,T\bigr)-8{,}314=11{,}856+0{,}4001\,T,
onde as unidades são \mathrm{J/(mol\cdot K)}. (Aqui fiz a subtração 20{,}17-8{,}314=11{,}856.)

Passo 4

Escrevo as integrais para \Delta U e \Delta H (com n=1):
\Delta U=\int_{T_i}^{T_f} \bigl(11{,}856+0{,}4001\,T\bigr)\,dT,
\Delta H=\int_{T_i}^{T_f} \bigl(20{,}17+0{,}4001\,T\bigr)\,dT.
Calculo as primitivas (antiderivadas):
  • Para \Delta U:
\int \bigl(11{,}856+0{,}4001\,T\bigr)\,dT = 11{,}856\,T + \frac{0{,}4001}{2}\,T^{2} + C.
  • Para \Delta H:
\int \bigl(20{,}17+0{,}4001\,T\bigr)\,dT = 20{,}17\,T + \frac{0{,}4001}{2}\,T^{2} + C.

Passo 5

Calcule a diferença de quadrados que aparecerá em ambos os resultados:
T_f^2-T_i^2=(T_f+T_i)(T_f-T_i).
Aqui T_f+T_i=373{,}15+273{,}15=646{,}30\\ \mathrm{K} e T_f-T_i=100{,}00\\ \mathrm{K}, portanto
T_f^2-T_i^2=646{,}30\times 100{,}00=64\,630{,}0\\ \mathrm{K}^2.

Passo 6

Calcule a parcela quadrática comum:
\frac{0{,}4001}{2}\,(T_f^2-T_i^2)=0{,}20005\times 64\,630{,}0.
Faço a multiplicação em dois passos para ficar claro:
64\,630{,}0\times 0{,}2=12\,926{,}0
64\,630{,}0\times 0{,}00005=3{,}2315
Somando:
0{,}20005\times 64\,630{,}0=12\,929{,}2315\\ \mathrm{J}.

Passo 7

Calcule \Delta U numericamente:
\Delta U = \Bigl[11{,}856\,T + 0{,}20005\,T^{2}\Bigr]_{T_i}^{T_f} =11{,}856\,(T_f-T_i) + 0{,}20005\,(T_f^2-T_i^2).
Substituindo T_f-T_i=100{,}00\\ \mathrm{K} e o valor da parcela quadrática:
11{,}856\times 100{,}00 = 1\,185{,}6\\ \mathrm{J}.
Somando a parcela quadrática:
\Delta U = 1\,185{,}6 + 12\,929{,}2315 = 14\,114{,}8315\\ \mathrm{J}.
Arredondando razoavelmente (dados iniciais com 4–5 dígitos): \displaystyle \Delta U \approx 14\,115\\ \mathrm{J}.

Passo 8

Calcule \Delta H numericamente:
\Delta H = \Bigl[20{,}17\,T + 0{,}20005\,T^{2}\Bigr]_{T_i}^{T_f} =20{,}17\,(T_f-T_i) + 0{,}20005\,(T_f^2-T_i^2).
Primeira parcela:
20{,}17\times 100{,}00 = 2\,017{,}0\\ \mathrm{J}.
Somando a parcela quadrática já calculada:
\Delta H = 2\,017{,}0 + 12\,929{,}2315 = 14\,946{,}2315\\ \mathrm{J}.
Arredondando: \displaystyle \Delta H \approx 14\,946\\ \mathrm{J}.

Passo 9

Calcule o trabalho W e o calor Q no processo:
  • Como o vaso é rígido, o trabalho de expansão é nulo:
W=0\\ \mathrm{J}.
  • Pela primeira lei, \Delta U = Q + W. Como W=0, temos:
Q=\Delta U \approx 14\,115\\ \mathrm{J}.

Resposta

Q=14\,115\\ \mathrm{J}
W=0\\ \mathrm{J}
\Delta U=14\,115\\ \mathrm{J}
\Delta H=14\,946\\ \mathrm{J}

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