QUESTÃO 03 - Um mol de um gás ideal tem sua capacidade calorífica dependente da temperatura conforme a equação
. Calcule a geração de calor e trabalho e a variação da energia interna e da entalpia num processo de aquecimento de
a
se:
o processo é executado num vaso rígido.
o processo é executado num vaso rígido.
Passo 1
O enunciado fornece os seguintes dados e pede as grandezas indicadas:
- Quantidade de substância:
mol. - Capacidade calorífica molar à pressão constante:
(unidade: ). - Processo de aquecimento de
até . - O processo ocorre em vaso rígido (volume constante).
Perguntas a responder:
- Calcule a geração de calor
(calor recebido pelo gás). - Calcule o trabalho
realizado pelo gás. - Calcule a variação da energia interna
. - Calcule a variação da entalpia
.
Informações adicionais necessárias que usarei (forneço sem assumir que você já sabe):
- Constante dos gases ideais:
. - Conversão de temperaturas:
e .
Passo 2
Conceitos e relações fundamentais que vou usar (explicação didática):
- Para um gás ideal mono- ou poliatômico ideal, as capacidades molares estão relacionadas por
onde
é a capacidade molar a pressão constante,
a capacidade molar a volume constante, e
a constante dos gases. Cada termo tem unidade
. Isso vem da definição de entalpia
e da equação de estado ideal
.
- Em processo a volume constante, o trabalho de pressão-volume é nulo:
- Primeira lei da termodinâmica (para uma quantidade de substância
):
Em volume constante, como
, temos
.
- Variação de energia interna (por mole) para gás ideal depende apenas da temperatura:
- Variação de entalpia:
Vou aplicar essas fórmulas com
e integrar entre
e
. Observação: usar Kelvin aqui é obrigatório porque as capacidades dependem de
absoluto; porém a variação
vale
independentemente da escala Celsius/Kelvin.
Passo 3
Determine
a partir de
:
Substituindo os valores:
onde as unidades são
. (Aqui fiz a subtração
.)
Passo 4
Escrevo as integrais para
e
(com
):
Calculo as primitivas (antiderivadas):
- Para
:
- Para
:
Passo 5
Calcule a diferença de quadrados que aparecerá em ambos os resultados:
Aqui
e
, portanto
Passo 6
Calcule a parcela quadrática comum:
Faço a multiplicação em dois passos para ficar claro:
Somando:
Passo 7
Calcule
numericamente:
Substituindo
e o valor da parcela quadrática:
Somando a parcela quadrática:
Arredondando razoavelmente (dados iniciais com 4–5 dígitos):
.
Passo 8
Calcule
numericamente:
Primeira parcela:
Somando a parcela quadrática já calculada:
Arredondando:
.
Passo 9
Calcule o trabalho
e o calor
no processo:
- Como o vaso é rígido, o trabalho de expansão é nulo:
- Pela primeira lei,
. Como , temos: