Questão 03 (2,0): A partir de estudos realizados durante um longo período de tempo, sabe-se que o número de acidentes por semana em uma rodovia teve uma média de 8 acidentes/semana e um desvio padrão de 2 acidentes/semana. Após passar por um processo de reformas, o órgão responsável pela rodovia deseja fazer um novo levantamento de dados, pois acredita que a média de acidentes semanais tenha diminuído. Para isso, uma amostra de 16 semanas é realizada, gerando uma média de 6.8 acidentes/semana.
a) Encontre um intervalo de 95% de confiança para a média de acidentes por semana

Passo 1

Beleza, aqui a gente tem um trecho de rodovia que, antes das reformas, tinha média de 8 acidentes/semana e desvio-padrão σ=2 acidentes/semana. Depois da reforma, pegaram uma amostra de n=16 semanas e viram média de bar x=6,8 acidentes/semana. A ideia é montar um intervalo de confiança de 95 % para a média real após a reforma.
Conteúdo: construção de intervalo de confiança para média quando o desvio-padrão da população é conhecido. Vamos precisar da fórmula
bar x pm zalpha/2,sigmaraiz n
e da tabela (ou valor) crítico z0,025.

Passo 2

Teoria básica: um intervalo de confiança de nível (1-alpha)times100% para a média populacional mu, quando conhecemos σ, é dado por
IC = l[;bar x - zalpha/2,tfracsigmaraiz n;,;bar x + zalpha/2,tfracsigmaraiz nr]
Aqui bar x é a média da amostra, n é o tamanho da amostra e zalpha/2 é o valor que deixa alpha/2 de área na cauda da normal padrão. Para 95 %, alpha=0,05.

Passo 3

Achar zalpha/2 para 95 %:
Como alpha/2 = 0,025, o valor crítico da normal padrão é
z0,025 = 1,96

Passo 4

Calcular a margem de erro (ME):
ME = z0,025,sigmaraiz n = 1,96 times 2raiz16 = 1,96 times 24 = 1,96 times 0,5 = 0,98

Passo 5

Montar o intervalo de confiança:
$$IC = \bigl[,6{,}8 - 0{,}98;,;6{,}8 + 0{,}98\bigr]
= [,5{,}82;,;7{,}78,].$$

Resposta

Um intervalo de confiança de 95 % para a média de acidentes/semana é aproximadamente
[,5,82,;7,78,]

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