Dispõe-se de uma solução de metanol e água a temperatura ambiente com uma vazão de
. Essa mistura deve ser retificada a pressão atmosférica a fim de se obter um destilado contendo
de metanol e um resíduo de
(ambas as percentagens estão em peso). Antes de entrar na torre, a alimentação é aquecida até
obtendo-se assim uma mistura 65% vaporizada. O condensador usado é total e o refluxo retorna a torre no ponto de ebulição. De posse de todos os diagramas de equilíbrio, calcular pelo método de MacCabe Thiele:
a) As vazões dos produtos D e B;
b) A razão mínima de refluxo;
c) O número mínimo de pratos teóricos;
d) O número de pratos teóricos para uma razão de refluxo igual a 2Rmin e alimentação no prato ótimo,
a) As vazões dos produtos D e B;
b) A razão mínima de refluxo;
c) O número mínimo de pratos teóricos;
d) O número de pratos teóricos para uma razão de refluxo igual a 2Rmin e alimentação no prato ótimo,
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede (pego estes dados do enunciado).
Dados fornecidos:
- Vazão da alimentação:
. - Destilado (produto superior) contém
de metanol em massa. - Resíduo (produto inferior) contém
de metanol em massa. - Antes de entrar na torre a alimentação é aquecida até
e fica vaporizada (isto é, fração em vapor ). - Condensador total (todo o vapor do topo é condensado) e o refluxo retorna como líquido no ponto de ebulição.
- O enunciado diz “De posse de todos os diagramas de equilíbrio” (ou seja, o diagrama
versus está disponível, mas NÃO foi fornecido aqui).
O que o problema pede:
a) Calcular as vazões dos produtos (destilado) e
(resíduo), em
.
b) Calcular a razão mínima de refluxo .
c) Determinar o número mínimo de pratos teóricos (isto é, número de pratos em total reflux, frequentemente chamado ).
d) Determinar o número de pratos teóricos para uma razão de refluxo e alimentação colocada no prato ótimo.
a) Calcular as vazões dos produtos
b) Calcular a razão mínima de refluxo
c) Determinar o número mínimo de pratos teóricos (isto é, número de pratos em total reflux, frequentemente chamado
d) Determinar o número de pratos teóricos para uma razão de refluxo
Observações cruciais (importantes para a solução):
- As porcentagens dadas no enunciado são em massa (wt%). Para usar McCabe–Thiele normalmente precisa-se do diagrama de equilíbrio em frações molares
vs . Portanto é necessário converter as composições massa molar usando as massas molares de metanol e água. - Para calcular numericamente
e é imprescindível conhecer a composição em massa (ou molar) da alimentação . O enunciado NÃO dá . Sem não é possível obter valores numéricos de e . - Para calcular
e os números de pratos via McCabe–Thiele é indispensável o diagrama de equilíbrio (curva ). O enunciado afirma que esses diagramas existem, mas não os forneceu aqui; portanto não posso extrair numericamente os pontos de tangência nem executar graficamente os “degraus”.
A partir daqui eu mostro passo a passo o método completo (teoria e cálculos que você faria na prova) e os fórmulas explícitas. Quando for preciso um dado que não foi fornecido (como
ou a curva de equilíbrio), eu explicito isso e mostro o que se faria ao tê-lo.
Passo 2
Conversão das composições do produto para frações molares (passo obrigatório para McCabe–Thiele).
Motivo: a curva de equilíbrio e os traçados de McCabe–Thiele são em base molar (
líquido e
vapor são frações molares). Portanto converte-se os percentuais em massa em frações molares.
Massas molares usadas:
- Metanol:
. - Água:
.
Conversão do destilado (94 wt% metanol):
- Tomar 100 kg de destilado: metanol
, água . - Moles metanol:
. - Moles água:
. - Fração molar metanol no destilado:
Vamos calcular numericamente estes valores:
Conversão do resíduo (8,5 wt% metanol):
- Tomar 100 kg de resíduo: metanol
, água . - Moles metanol:
. - Moles água:
. - Fração molar metanol no resíduo:
Valores numéricos:
Resumo numérico útil para McCabe–Thiele (frações molares de metanol):
-
. -
.
(Guarde estes
e
para traçar o ponto do topo e do fundo no diagrama
vs
.)
Passo 3
balanços de matéria para encontrar
e
(expressão geral) — o que se pode calcular já.
Equações fundamentais (balanços globais e de componente metanol, em base de massa):
onde:
-
é a fração em massa de metanol na alimentação (não fornecida no enunciado), -
é a fração em massa de metanol no destilado, -
é a fração em massa de metanol no resíduo.
Isolando
da equação de componente:
E então:
Comentário didático:
- Para obter valores numéricos de
e é indispensável saber (a composição em massa da alimentação). O enunciado NÃO fornece , portanto não é possível calcular numericamente e . Se você na prova tivesse, por exemplo, (30 wt%), bastaria substituir nessa fórmula para obter e . - Se preferir trabalhar em base molar (por ex. para calcular vazões molares), converta
para fração molar usando as massas molares e aplique balanços molares análogos:
ou trabalhe diretamente com moles totais.]
Passo 4
Cálculo da fração líquida do alimento
e equação da linha
(linha da alimentação) — passo necessário para McCabe–Thiele.
Definição:
é a fração da alimentação que entra como líquido saturado (ou fração líquida). O enunciado diz que a alimentação fica
vaporizada; portanto a fração líquida é
Equação da linha
(no plano
vs
, usando frações molares):
- A linha
passa pelo ponto (onde é a fração molar de metanol na alimentação) e tem equação
Observações:
- Para
, a inclinação é (linha descendente), e o intercepto é . - Mais uma vez, sem conhecer
não se pode traçar numericam. Mas a equação acima é a que você deve desenhar no diagrama vs .
Passo 5
Equações das retas operacionais (rectifying e stripping) usadas no traçado McCabe–Thiele.
Rectifying section (acima do prato de alimentação), com refluxo
(relação refluxo definida como
, com
vazão líquida de refluxo):
- Equação da linha de operação do topo:
onde
é a fração molar de metanol no destilado (aqui
).
Stripping section (abaixo do prato de alimentação):
- Encontra-se a linha de operação do estripamento ligando o ponto
ao ponto de interseção entre a linha e a linha rectificadora (chamemos esse ponto de interseção de ). A equação da linha de estripamento pode ser escrita na forma:
ou rearranjando para a forma
.
Como proceder numericamente:
- Escolha um valor de
e trace a reta rectificadora usando . - Interseccione essa reta com a linha
para obter . - Trace a reta de estripamento entre
e . - Faça os “degraus” (zig–zag) entre curva de equilíbrio
e as retas operacionais para contar o número de pratos teóricos.
Passo 6
Como determinar a razão mínima de refluxo
pelo método de McCabe–Thiele (explicação e fórmula).
Ideia (visual/geométrica):
-
é o menor que permite a separação desejada caso se permita número arbitrariamente grande de pratos. No traçado, a reta rectificadora correspondente a é tangente à curva de equilíbrio entre e o ponto onde tangencia. Ou seja, é a condição de “pinch” entre a rectificadora e a curva de equilíbrio no topo.
Fórmula prática (se conhecer o ponto de tangência
, com
):
- Na tangência vale simultaneamente a equação da rectificadora e a igualdade das inclinações. A partir disso obtém-se a fórmula fechada:
Procedimento para encontrar numericamente
:
- No diagrama
vs com a curva de equilíbrio disponível, encontre o ponto tal que a rectificadora passando por seja tangente à curva . Graficamente busca-se a rectificadora que apenas toca a curva de equilíbrio. - Calcule
via a fórmula acima.
Observação importante:
- Sem a curva de equilíbrio não se pode obter numericam
e, portanto, não se pode obter numericam . Se em prova você tem o diagrama, faça a tangência e aplique a fórmula.
Passo 7
Como determinar o número mínimo de pratos teóricos
(mínimo de pratos) — procedimento e interpretação.
Definição e raciocínio:
- O número mínimo de pratos teóricos para uma dada separação é o número de pratos quando se opera em “total reflux” (
), ou seja, quando não há retirada de destilado (apenas recircula-se todo o condensado). Nesse caso a rectificadora tem equação limite (a reta diagonal) porque e . - Assim
obtém-se contando os “degraus” entre o ponto na diagonal e o ponto , alternando entre a diagonal e a curva de equilíbrio .
Procedimento prático:
- No diagrama
vs , marque . - Desenhe a diagonal
. - A partir de
faça um passo horizontal até a curva de equilíbrio, depois vertical até a diagonal, e repita até chegar a . Cada par (horizontal + vertical) corresponde a um prato teórico; conte-os. - O número de pratos obtido é
(é o menor número de pratos possível — ocorre com refluxo infinito).
Observação:
- Novamente, sem a curva de equilíbrio (dados numéricos ou gráfico) não é possível calcular numericamente
aqui; se você tiver o gráfico na prova, faça os degraus e conte.
Passo 8
Como obter o número de pratos para
e alimentação no prato ótimo (procedimento passo a passo que você deve executar na prova).
Passos a executar na prática (com o diagrama de equilíbrio em mãos):
- Determine
como no Passo 6 (tangência). Calcule . - Trace a reta rectificadora para
usando
- Interseccione essa reta com a linha
para obter o ponto de alimentação . - Trace a linha de estripamento (ligando
a ) conforme Passo 5. - Execute o procedimento de “degraus” (stepping): comece em
, mova-se horizontalmente até a curva de equilíbrio, verticalmente até a rectificadora, e assim por diante; quando atingir o ponto de alimentação troque para a linha de estripamento e continue os degraus até . - Conte o número de degraus (cada degrau vertical corresponde a um prato teórico). Esse é o número de pratos totais (teóricos) necessários para
. - O “prato ótimo de alimentação” normalmente é o prato onde a alimentação deve ser introduzida para minimizar número total de pratos; graficamente o local ótimo está associado ao ponto de interseção entre a linha
e as linhas operacionais e é o ponto a partir do qual se trocam as retas durante o stepping; na prática, ao traçar os degraus com a linha você verá onde a troca entre rectificadora e estripadora deve ocorrer — esse índice (número do prato contado a partir do topo) é o prato ótimo.
Dicas práticas:
- Trabalhe em frações molares (converta
como fiz no Passo 2). - Use réguas/transparência no gráfico de equilíbrio para traçar tangente e retas com precisão.
- Contagem de pratos costuma dar número fracionário para a posição exata do prato de alimentação — arredonde conforme instrução do professor (normalmente para o inteiro mais próximo ou aplicar regra de Gilliland se pedirem eficiência).
Passo 9
Resumo final e o que posso entregar agora (numérico) e o que não posso entregar sem dados adicionais.
O que eu consegui calcular e fornecer sem mais dados:
- Conversão massa → molar dos produtos fornecidos:
- Fração líquida da alimentação:
- Fórmula para as vazões
e em função da composição em massa da alimentação :
com
,
e
.
O que NÃO posso calcular numericamente sem dados adicionais:
- Não posso dar valores numéricos de
e porque falta (composição da alimentação). - Não posso calcular numericamente
porque falta a curva de equilíbrio necessária para localizar o ponto de tangência . - Não posso determinar numericamente
(nº mínimo de pratos) porque falta o diagrama vs para efetuar o stepping com a diagonal . - Não posso calcular o número de pratos para
sem antes conhecer numericam e sem o diagrama de equilíbrio para traçar as retas e efetuar o stepping.
Se você quiser, posso:
- Se você me der a composição em massa (ou molar) da alimentação
(ou ), eu calculo imediatamente e usando as fórmulas acima. - Se você me enviar o diagrama de equilíbrio (ou os pontos da curva
ou uma função de volatilidade relativa), eu executo o procedimento de McCabe–Thiele de forma numérica/geométrica e lhe dou , e o número de pratos para com alimentação no prato ótimo, passo a passo com os desenhos/contagens.
Força aí — me envie só a composição da alimentação ou o gráfico/curva de equilíbrio e eu faço os cálculos completos, passo a passo, até a resposta numérica final.]
Resposta
a) Não é possível calcular numericamente
e
porque falta a composição da alimentação
. Em termos gerais:
com
,
,
.
b) Não é possível calcular numericamente
porque falta o diagrama de equilíbrio
; em geral
onde
é o ponto de tangência entre a rectificadora de mínimo refluxo e a curva de equilíbrio.
c) Não é possível calcular numericamente o número mínimo de pratos
porque falta o diagrama de equilíbrio;
obtém‑se fazendo stepping entre a diagonal
e a curva de equilíbrio entre
e
.
d) Não é possível calcular numericamente o número de pratos para
e alimentação no prato ótimo sem o diagrama de equilíbrio (é preciso traçar a rectificadora para
, intersecção com a linha
e fazer stepping entre as retas e a curva de equilíbrio).
Valores auxiliares já calculados a partir dos dados do enunciado (úteis quando você for traçar no gráfico):