Dispõe-se de uma solução de metanol e água a temperatura ambiente com uma vazão de 4000 \mathrm{~kg} / \mathrm{h}. Essa mistura deve ser retificada a pressão atmosférica a fim de se obter um destilado contendo 94 \% de metanol e um resíduo de 8,5 \% (ambas as percentagens estão em peso). Antes de entrar na torre, a alimentação é aquecida até 180^{\circ} \mathrm{F} obtendo-se assim uma mistura 65% vaporizada. O condensador usado é total e o refluxo retorna a torre no ponto de ebulição. De posse de todos os diagramas de equilíbrio, calcular pelo método de MacCabe Thiele:
a) As vazões dos produtos D e B;
b) A razão mínima de refluxo;
c) O número mínimo de pratos teóricos;
d) O número de pratos teóricos para uma razão de refluxo igual a 2Rmin e alimentação no prato ótimo,

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede (pego estes dados do enunciado).
Dados fornecidos:
  • Vazão da alimentação: \,F=4000\\ \mathrm{kg/h}.
  • Destilado (produto superior) contém \,94\% de metanol em massa.
  • Resíduo (produto inferior) contém \,8{,}5\% de metanol em massa.
  • Antes de entrar na torre a alimentação é aquecida até 180^\circ\mathrm{F} e fica 65\% vaporizada (isto é, fração em vapor =0{,}65).
  • Condensador total (todo o vapor do topo é condensado) e o refluxo retorna como líquido no ponto de ebulição.
  • O enunciado diz “De posse de todos os diagramas de equilíbrio” (ou seja, o diagrama y versus x está disponível, mas NÃO foi fornecido aqui).
O que o problema pede:
a) Calcular as vazões dos produtos D (destilado) e B (resíduo), em \mathrm{kg/h}.
b) Calcular a razão mínima de refluxo R_{\min}.
c) Determinar o número mínimo de pratos teóricos (isto é, número de pratos em total reflux, frequentemente chamado N_{\min}).
d) Determinar o número de pratos teóricos para uma razão de refluxo R=2R_{\min} e alimentação colocada no prato ótimo.
Observações cruciais (importantes para a solução):
  • As porcentagens dadas no enunciado são em massa (wt%). Para usar McCabe–Thiele normalmente precisa-se do diagrama de equilíbrio em frações molares (y vs x). Portanto é necessário converter as composições massa \to molar usando as massas molares de metanol e água.
  • Para calcular numericamente D e B é imprescindível conhecer a composição em massa (ou molar) da alimentação z_F. O enunciado NÃO dá z_F. Sem z_F não é possível obter valores numéricos de D e B.
  • Para calcular R_{\min} e os números de pratos via McCabe–Thiele é indispensável o diagrama de equilíbrio (curva y_{eq}(x)). O enunciado afirma que esses diagramas existem, mas não os forneceu aqui; portanto não posso extrair numericamente os pontos de tangência nem executar graficamente os “degraus”.
A partir daqui eu mostro passo a passo o método completo (teoria e cálculos que você faria na prova) e os fórmulas explícitas. Quando for preciso um dado que não foi fornecido (como z_F ou a curva de equilíbrio), eu explicito isso e mostro o que se faria ao tê-lo.

Passo 2

Conversão das composições do produto para frações molares (passo obrigatório para McCabe–Thiele).
Motivo: a curva de equilíbrio e os traçados de McCabe–Thiele são em base molar ( x líquido e y vapor são frações molares). Portanto converte-se os percentuais em massa em frações molares.
Massas molares usadas:
  • Metanol: \,M_{\mathrm{MeOH}}=32{,}04\\ \mathrm{g/mol}=0{,}03204\\ \mathrm{kg/mol}.
  • Água: \,M_{\mathrm{H_2O}}=18{,}015\\ \mathrm{g/mol}=0{,}018015\\ \mathrm{kg/mol}.
Conversão do destilado (94 wt% metanol):
  • Tomar 100 kg de destilado: metanol =94\\ \mathrm{kg}, água =6\\ \mathrm{kg}.
  • Moles metanol: \displaystyle n_{M}^{D}=\frac{94}{0{,}03204}\\ \mathrm{mol}.
  • Moles água: \displaystyle n_{W}^{D}=\frac{6}{0{,}018015}\\ \mathrm{mol}.
  • Fração molar metanol no destilado:
x_D \;=\; \frac{n_{M}^{D}}{n_{M}^{D}+n_{W}^{D}}.
Vamos calcular numericamente estes valores:
n_{M}^{D}=\frac{94}{0{,}03204}\approx 2933{,}8\\ \mathrm{mol}, \qquad n_{W}^{D}=\frac{6}{0{,}018015}\approx 333{,}0\\ \mathrm{mol},
x_D\approx\frac{2933{,}8}{2933{,}8+333{,}0}\approx 0{,}898.
Conversão do resíduo (8,5 wt% metanol):
  • Tomar 100 kg de resíduo: metanol =8{,}5\\ \mathrm{kg}, água =91{,}5\\ \mathrm{kg}.
  • Moles metanol: \displaystyle n_{M}^{B}=\frac{8{,}5}{0{,}03204}\\ \mathrm{mol}.
  • Moles água: \displaystyle n_{W}^{B}=\frac{91{,}5}{0{,}018015}\\ \mathrm{mol}.
  • Fração molar metanol no resíduo:
x_B \;=\; \frac{n_{M}^{B}}{n_{M}^{B}+n_{W}^{B}}.
Valores numéricos:
n_{M}^{B}\approx 265{,}3\\ \mathrm{mol}, \qquad n_{W}^{B}\approx 5079{,}0\\ \mathrm{mol},
x_B\approx\frac{265{,}3}{265{,}3+5079{,}0}\approx 0{,}0497.
Resumo numérico útil para McCabe–Thiele (frações molares de metanol):
  • \,x_D \approx 0{,}898.
  • \,x_B \approx 0{,}0497.
(Guarde estes x_D e x_B para traçar o ponto do topo e do fundo no diagrama y vs x.)

Passo 3

balanços de matéria para encontrar D e B (expressão geral) — o que se pode calcular já.
Equações fundamentais (balanços globais e de componente metanol, em base de massa):
\begin{aligned} \text{Balanço de massa total:}\quad & F = D + B.\\[4pt] \text{Balanço de metanol (massa):}\quad & F\,w_F = D\,w_D + B\,w_B, \end{aligned}çç
onde:
  • w_F é a fração em massa de metanol na alimentação (não fornecida no enunciado),
  • w_D=0{,}94 é a fração em massa de metanol no destilado,
  • w_B=0{,}085 é a fração em massa de metanol no resíduo.
Isolando D da equação de componente:
D \;=\; F\;\frac{w_F - w_B}{w_D - w_B}.
E então:
B \;=\; F - D \;=\; F\left(1 - \frac{w_F - w_B}{w_D - w_B}\right) =F\;\frac{w_D - w_F}{w_D - w_B}.
Comentário didático:
  • Para obter valores numéricos de D e B é indispensável saber w_F (a composição em massa da alimentação). O enunciado NÃO fornece w_F, portanto não é possível calcular numericamente D e B. Se você na prova tivesse, por exemplo, w_F=0{,}30 (30 wt%), bastaria substituir nessa fórmula para obter D e B.
  • Se preferir trabalhar em base molar (por ex. para calcular vazões molares), converta w_F para fração molar z_F usando as massas molares e aplique balanços molares análogos:
F\\ \frac{w_F}{M_{\mathrm{MeOH}}} = D\\ \frac{w_D}{M_{\mathrm{MeOH}}} + B\\ \frac{w_B}{M_{\mathrm{MeOH}}}
ou trabalhe diretamente com moles totais.]

Passo 4

Cálculo da fração líquida do alimento q e equação da linha q (linha da alimentação) — passo necessário para McCabe–Thiele.
Definição: q é a fração da alimentação que entra como líquido saturado (ou fração líquida). O enunciado diz que a alimentação fica 65\% vaporizada; portanto a fração líquida é
q = 1 - 0{,}65 = 0{,}35.
Equação da linha q (no plano y vs x, usando frações molares):
  • A linha q passa pelo ponto (x,z_F) (onde z_F é a fração molar de metanol na alimentação) e tem equação
\boxed{\; y \;=\; \frac{q}{q-1}\,x \;-\; \frac{z_F}{q-1}\;}
Observações:
  • Para q=0{,}35, a inclinação é \dfrac{q}{q-1}= \dfrac{0{,}35}{-0{,}65}\approx -0{,}5385 (linha descendente), e o intercepto é -\dfrac{z_F}{q-1} = +\dfrac{z_F}{0{,}65}.
  • Mais uma vez, sem conhecer z_F não se pode traçar numericam. Mas a equação acima é a que você deve desenhar no diagrama y vs x.

Passo 5

Equações das retas operacionais (rectifying e stripping) usadas no traçado McCabe–Thiele.
Rectifying section (acima do prato de alimentação), com refluxo R (relação refluxo definida como R=L/D, com L vazão líquida de refluxo):
  • Equação da linha de operação do topo:
\boxed{\; y \;=\; \frac{R}{R+1}\,x \;+\; \frac{x_D}{R+1}\;}
onde \,x_D é a fração molar de metanol no destilado (aqui x_D\approx0{,}898).
Stripping section (abaixo do prato de alimentação):
  • Encontra-se a linha de operação do estripamento ligando o ponto (x_B,x_B) ao ponto de interseção entre a linha q e a linha rectificadora (chamemos esse ponto de interseção de (x_q,y_q)). A equação da linha de estripamento pode ser escrita na forma:
\boxed{\; y \;=\; \frac{y_q - x_B}{x_q - x_B}\,(x - x_B) + x_B \;}
ou rearranjando para a forma y= m_{\text{strip}} x + b_{\text{strip}}.
Como proceder numericamente:
  1. Escolha um valor de R e trace a reta rectificadora usando x_D.
  2. Interseccione essa reta com a linha q para obter (x_q,y_q).
  3. Trace a reta de estripamento entre (x_q,y_q) e (x_B,x_B).
  4. Faça os “degraus” (zig–zag) entre curva de equilíbrio y_{eq}(x) e as retas operacionais para contar o número de pratos teóricos.

Passo 6

Como determinar a razão mínima de refluxo R_{\min} pelo método de McCabe–Thiele (explicação e fórmula).
Ideia (visual/geométrica):
  • R_{\min} é o menor R que permite a separação desejada caso se permita número arbitrariamente grande de pratos. No traçado, a reta rectificadora correspondente a R_{\min} é tangente à curva de equilíbrio y_{eq}(x) entre x_D e o ponto onde tangencia. Ou seja, é a condição de “pinch” entre a rectificadora e a curva de equilíbrio no topo.
Fórmula prática (se conhecer o ponto de tangência (x_t,y_t), com y_t=y_{eq}(x_t)):
  • Na tangência vale simultaneamente a equação da rectificadora e a igualdade das inclinações. A partir disso obtém-se a fórmula fechada:
\boxed{\; R_{\min} \;=\; \frac{x_D - y_t}{\,y_t - x_t\,}\;}
Procedimento para encontrar numericamente R_{\min}:
  1. No diagrama y vs x com a curva de equilíbrio disponível, encontre o ponto (x_t,y_t) tal que a rectificadora passando por (x_D,x_D) seja tangente à curva y_{eq}(x). Graficamente busca-se a rectificadora que apenas toca a curva de equilíbrio.
  2. Calcule R_{\min} via a fórmula acima.
Observação importante:
  • Sem a curva de equilíbrio não se pode obter numericam x_t,y_t e, portanto, não se pode obter numericam R_{\min}. Se em prova você tem o diagrama, faça a tangência e aplique a fórmula.

Passo 7

Como determinar o número mínimo de pratos teóricos N_{\min} (mínimo de pratos) — procedimento e interpretação.
Definição e raciocínio:
  • O número mínimo de pratos teóricos para uma dada separação é o número de pratos quando se opera em “total reflux” ( R \to \infty), ou seja, quando não há retirada de destilado (apenas recircula-se todo o condensado). Nesse caso a rectificadora tem equação limite y=x (a reta diagonal) porque \displaystyle\frac{R}{R+1}\to1 e \displaystyle\frac{x_D}{R+1}\to0.
  • Assim N_{\min} obtém-se contando os “degraus” entre o ponto (x_D,x_D) na diagonal e o ponto (x_B,x_B), alternando entre a diagonal y=x e a curva de equilíbrio y_{eq}(x).
Procedimento prático:
  1. No diagrama y vs x, marque (x_D,x_D).
  2. Desenhe a diagonal y=x.
  3. A partir de (x_D,x_D) faça um passo horizontal até a curva de equilíbrio, depois vertical até a diagonal, e repita até chegar a x_B. Cada par (horizontal + vertical) corresponde a um prato teórico; conte-os.
  4. O número de pratos obtido é N_{\min} (é o menor número de pratos possível — ocorre com refluxo infinito).
Observação:
  • Novamente, sem a curva de equilíbrio (dados numéricos ou gráfico) não é possível calcular numericamente N_{\min} aqui; se você tiver o gráfico na prova, faça os degraus e conte.

Passo 8

Como obter o número de pratos para R=2R_{\min} e alimentação no prato ótimo (procedimento passo a passo que você deve executar na prova).
Passos a executar na prática (com o diagrama de equilíbrio em mãos):
  1. Determine R_{\min} como no Passo 6 (tangência). Calcule R = 2R_{\min}.
  2. Trace a reta rectificadora para R=2R_{\min} usando
y=\frac{R}{R+1}x + \frac{x_D}{R+1}.
  1. Interseccione essa reta com a linha q para obter o ponto de alimentação (x_q,y_q).
  2. Trace a linha de estripamento (ligando (x_q,y_q) a (x_B,x_B)) conforme Passo 5.
  3. Execute o procedimento de “degraus” (stepping): comece em (x_D,\,\text{na rectificadora}), mova-se horizontalmente até a curva de equilíbrio, verticalmente até a rectificadora, e assim por diante; quando atingir o ponto de alimentação troque para a linha de estripamento e continue os degraus até x_B.
  4. Conte o número de degraus (cada degrau vertical corresponde a um prato teórico). Esse é o número de pratos totais (teóricos) necessários para R=2R_{\min}.
  5. O “prato ótimo de alimentação” normalmente é o prato onde a alimentação deve ser introduzida para minimizar número total de pratos; graficamente o local ótimo está associado ao ponto de interseção entre a linha q e as linhas operacionais e é o ponto a partir do qual se trocam as retas durante o stepping; na prática, ao traçar os degraus com a linha q você verá onde a troca entre rectificadora e estripadora deve ocorrer — esse índice (número do prato contado a partir do topo) é o prato ótimo.
Dicas práticas:
  • Trabalhe em frações molares (converta x_D,x_B como fiz no Passo 2).
  • Use réguas/transparência no gráfico de equilíbrio para traçar tangente e retas com precisão.
  • Contagem de pratos costuma dar número fracionário para a posição exata do prato de alimentação — arredonde conforme instrução do professor (normalmente para o inteiro mais próximo ou aplicar regra de Gilliland se pedirem eficiência).

Passo 9

Resumo final e o que posso entregar agora (numérico) e o que não posso entregar sem dados adicionais.
O que eu consegui calcular e fornecer sem mais dados:
  • Conversão massa → molar dos produtos fornecidos:
\boxed{x_D \approx 0{,}898\quad\text{(fração molar de metanol no destilado)}}\\[4pt] \boxed{x_B \approx 0{,}0497\quad\text{(fração molar de metanol no resíduo)}}çãçãí
  • Fração líquida da alimentação:
\boxed{q = 1 - 0{,}65 = 0{,}35.}
  • Fórmula para as vazões D e B em função da composição em massa da alimentação w_F:
\boxed{D \;=\; F\;\frac{w_F - w_B}{w_D - w_B},\qquad B \;=\; F - D.}
com F=4000\\ \mathrm{kg/h}, w_D=0{,}94 e w_B=0{,}085.
O que NÃO posso calcular numericamente sem dados adicionais:
  • Não posso dar valores numéricos de D e B porque falta w_F (composição da alimentação).
  • Não posso calcular numericamente R_{\min} porque falta a curva de equilíbrio y_{eq}(x) necessária para localizar o ponto de tangência (x_t,y_t).
  • Não posso determinar numericamente N_{\min} (nº mínimo de pratos) porque falta o diagrama y vs x para efetuar o stepping com a diagonal y=x.
  • Não posso calcular o número de pratos para R=2R_{\min} sem antes conhecer numericam R_{\min} e sem o diagrama de equilíbrio para traçar as retas e efetuar o stepping.
Se você quiser, posso:
  • Se você me der a composição em massa (ou molar) da alimentação w_F (ou z_F), eu calculo imediatamente D e B usando as fórmulas acima.
  • Se você me enviar o diagrama de equilíbrio (ou os pontos da curva y_{eq}(x) ou uma função de volatilidade relativa), eu executo o procedimento de McCabe–Thiele de forma numérica/geométrica e lhe dou R_{\min}, N_{\min} e o número de pratos para R=2R_{\min} com alimentação no prato ótimo, passo a passo com os desenhos/contagens.
Força aí — me envie só a composição da alimentação ou o gráfico/curva de equilíbrio e eu faço os cálculos completos, passo a passo, até a resposta numérica final.]

Resposta

a) Não é possível calcular numericamente D e B porque falta a composição da alimentação w_F. Em termos gerais:
D \;=\; F\;\frac{w_F - w_B}{w_D - w_B},\qquad B=F-D,
com F=4000\\ \mathrm{kg/h}, w_D=0{,}94, w_B=0{,}085.
b) Não é possível calcular numericamente R_{\min} porque falta o diagrama de equilíbrio y_{eq}(x); em geral
R_{\min}=\frac{x_D-y_t}{y_t-x_t},
onde (x_t,y_t) é o ponto de tangência entre a rectificadora de mínimo refluxo e a curva de equilíbrio.
c) Não é possível calcular numericamente o número mínimo de pratos N_{\min} porque falta o diagrama de equilíbrio; N_{\min} obtém‑se fazendo stepping entre a diagonal y=x e a curva de equilíbrio entre x_D e x_B.
d) Não é possível calcular numericamente o número de pratos para R=2R_{\min} e alimentação no prato ótimo sem o diagrama de equilíbrio (é preciso traçar a rectificadora para R=2R_{\min}, intersecção com a linha q e fazer stepping entre as retas e a curva de equilíbrio).
Valores auxiliares já calculados a partir dos dados do enunciado (úteis quando você for traçar no gráfico):
x_D\approx 0{,}898\quad(\text{fração molar de metanol no destilado}), \qquad x_B\approx 0{,}0497\quad(\text{fração molar no resíduo}), \qquad q=0{,}35.çãçãí

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