Questão-03. (1,0 ponto/item). Derive a função
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede para derivá‑la (ou seja, encontrar
).
Informações e observações iniciais importantes:
Informações e observações iniciais importantes:
- A função está bem definida para
(vai ser assumido o domínio , porque usamos ao fazer a derivação). - Objetivo: calcular a derivada
para .
Passo 2
Escolha do método — por quê usar diferenciação logarítmica?
Quando a função tem base e expoente que dependem de (aqui a base é
e o expoente é
), a técnica mais simples é tomar logaritmo natural dos dois lados e depois derivar implicitamente. Isso transforma potência com expoente variável em produto/razão envolvendo
, que é mais fácil de diferenciar.
Quando a função tem base e expoente que dependem de
Começamos definindo
:
Tomando logaritmo natural em ambos os lados:
Usando a propriedade dos logaritmos
, obtemos:
Passo 3
Derivando implicitamente em relação a
.
Ao derivar usamos a regra da cadeia: a derivada de
em relação a
é
, pois
.
No lado direito temos a função , que é um produto/quociente; vamos diferenciá‑la com a regra do produto (ou do quociente). Escrevendo como produto:
Ao derivar
No lado direito temos a função
A regra do produto diz que
. Aqui tome
e
.
Calculando as derivadas parciais:
Aplicando a regra do produto:
Passo 4
Simplificando a derivada do lado direito:
Somando as duas parcelas:
Passo 5
Agora voltamos à diferenciação implícita completa. Da etapa anterior temos:
Isolando
:
Passo 6
Substituímos
(lembrando que
era
) para obter a derivada explícita de
:
Podemos também escrever de forma equivalente, reunindo potências de
:
Comentário intuitivo rápido: a derivada zera quando
, ou seja em
, o que corresponde ao ponto crítico conhecido da função
.