Questão-03. (1,0 ponto/item). Derive a função
g(x)=x^{1 / x}

Passo 1

O enunciado dá a função g(x)=x^{1/x} e pede para derivá‑la (ou seja, encontrar g'(x)).
Informações e observações iniciais importantes:
  • A função está bem definida para x>0 (vai ser assumido o domínio \,x>0, porque usamos \ln x ao fazer a derivação).
  • Objetivo: calcular a derivada g'(x) para x>0.

Passo 2

Escolha do método — por quê usar diferenciação logarítmica?
Quando a função tem base e expoente que dependem de x (aqui a base é x e o expoente é 1/x), a técnica mais simples é tomar logaritmo natural dos dois lados e depois derivar implicitamente. Isso transforma potência com expoente variável em produto/razão envolvendo \ln, que é mais fácil de diferenciar.
Começamos definindo y=g(x):
y = x^{1/x}.
Tomando logaritmo natural em ambos os lados:
\ln y = \ln\bigl(x^{1/x}\bigr).
Usando a propriedade dos logaritmos \ln(a^b)=b\ln a, obtemos:
\ln y = \frac{\ln x}{x}.

Passo 3

Derivando implicitamente em relação a x.
Ao derivar \ln y usamos a regra da cadeia: a derivada de \ln y em relação a x é \dfrac{y'}{y}, pois \dfrac{d}{dx}\ln y = \dfrac{1}{y}\cdot y'.
No lado direito temos a função \dfrac{\ln x}{x}, que é um produto/quociente; vamos diferenciá‑la com a regra do produto (ou do quociente). Escrevendo como produto:
\frac{\ln x}{x} = (\ln x)\cdot x^{-1}.
A regra do produto diz que \dfrac{d}{dx}(u\cdot v)=u'v+uv'. Aqui tome u=\ln x e v=x^{-1}.
Calculando as derivadas parciais:
u'=\frac{d}{dx}\ln x=\frac{1}{x},\qquad v'=\frac{d}{dx}x^{-1}=-\frac{1}{x^{2}}.
Aplicando a regra do produto:
\frac{d}{dx}\!\left(\frac{\ln x}{x}\right)=u'v+uv'=\frac{1}{x}\cdot x^{-1}+(\ln x)\cdot\left(-\frac{1}{x^{2}}\right).

Passo 4

Simplificando a derivada do lado direito:
\frac{1}{x}\cdot x^{-1}=\frac{1}{x^{2}}, \qquad (\ln x)\cdot\left(-\frac{1}{x^{2}}\right)=-\frac{\ln x}{x^{2}}.
Somando as duas parcelas:
\frac{d}{dx}\!\left(\frac{\ln x}{x}\right)=\frac{1}{x^{2}}-\frac{\ln x}{x^{2}}=\frac{1-\ln x}{x^{2}}.

Passo 5

Agora voltamos à diferenciação implícita completa. Da etapa anterior temos:
\frac{y'}{y}=\frac{1-\ln x}{x^{2}}.
Isolando y':
y' = y\cdot\frac{1-\ln x}{x^{2}}.

Passo 6

Substituímos y=x^{1/x} (lembrando que y era g(x)) para obter a derivada explícita de g:
g'(x)=x^{1/x}\cdot\frac{1-\ln x}{x^{2}}.
Podemos também escrever de forma equivalente, reunindo potências de x:
g'(x)=x^{\tfrac{1}{x}-2}\,(1-\ln x).
Comentário intuitivo rápido: a derivada zera quando 1-\ln x=0, ou seja em x=e, o que corresponde ao ponto crítico conhecido da função x^{1/x}.

Resposta

g'(x)=x^{1/x}\cdot\frac{1-\ln x}{x^{2}}

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