Questão-03. (1,0 ponto/item). Derive a função
F(x)=\log (\operatorname{tg} x)

Passo 1

O enunciado nos dá a função F definida por
F(x)=\log(\operatorname{tg} x).
O que se pede: calcular a derivada F'(x) (ou seja, derivar a função). Observações iniciais que vêm do enunciado:
  • Está escrito \log; aqui vou interpretar \log como o logaritmo natural, isto é, \log=\ln.
  • A função \operatorname{tg} x é a tangente, que em notação usual é \tan x.
  • Para que \log(\tan x) esteja definida como número real é necessário \tan x>0 e \cos x\neq0. Essas restrições de domínio serão comentadas no fim.

Passo 2

Regra que vamos usar primeiro: derivada do logaritmo composto (regra da cadeia aplicada ao logaritmo). Se tivermos uma função G(x)=\ln(u(x)), onde u(x) é uma função diferenciável, vale a fórmula
G'(x)=\frac{u'(x)}{u(x)}.
Explicando devagar: a derivada de \ln é 1 sobre o argumento; como o argumento depende de x, multiplicamos pela derivada desse argumento — essa multiplicação pela derivada interna é a parte da regra da cadeia. Aqui u(x)=\tan x, então aplicaremos essa fórmula com u.

Passo 3

Agora preciso da derivada de \tan x. Lembrando que \tan x=\dfrac{\sin x}{\cos x}. Uso a regra do quociente para derivar:
se h(x)=\dfrac{p(x)}{q(x)}, então
h'(x)=\frac{p'(x)q(x)-p(x)q'(x)}{[q(x)]^2}.
Aplicando com p(x)=\sin x e q(x)=\cos x:
(\tan x)'=\frac{(\sin x)'\cos x-\sin x(\cos x)'}{\cos^2 x} =\frac{\cos x\cos x-\sin x(-\sin x)}{\cos^2 x}.
Simplificando o numerador:
\cos^2 x + \sin^2 x = 1,
portanto
(\tan x)'=\frac{1}{\cos^2 x}=\operatorname{sec}^2 x.
Resumo: a derivada de \tan x é \operatorname{sec}^2 x.

Passo 4

Agora aplico a fórmula do Passo 2 com u(x)=\tan x e u'(x)=\operatorname{sec}^2 x. Assim
F'(x)=\frac{(\tan x)'}{\tan x}=\frac{\operatorname{sec}^2 x}{\tan x}.
Isto já é uma forma correta da derivada, obtida diretamente pela regra do logaritmo composto.

Passo 5

Faço uma simplificação algébrica para obter formas alternativas mais intuitivas. Parto de
F'(x)=\frac{\operatorname{sec}^2 x}{\tan x}.
Substituindo \operatorname{sec} x=\dfrac{1}{\cos x} e \tan x=\dfrac{\sin x}{\cos x}:
F'(x)=\frac{\dfrac{1}{\cos^2 x}}{\dfrac{\sin x}{\cos x}} =\frac{1}{\cos^2 x}\cdot\frac{\cos x}{\sin x} =\frac{1}{\sin x\cos x}.
Outra forma útil usando a identidade \sin 2x = 2\sin x\cos x é
F'(x)=\frac{1}{\sin x\cos x}=\frac{2}{\sin 2x}.
Portanto temos equivalências:
F'(x)=\frac{\operatorname{sec}^2 x}{\tan x}=\frac{1}{\sin x\cos x}=\frac{2}{\sin 2x}.

Passo 6

Comentário sobre domínio (importante na prova): a expressão original \log(\tan x) exige \tan x>0 (para resultados reais) e \cos x\neq0 (pois \tan não está definida quando \cos x=0). A expressão final F'(x)=\dfrac{\operatorname{sec}^2 x}{\tan x} é válida em todos os pontos onde \tan x é definida e não nula; para o problema do log real devemos ainda garantir \tan x>0.

Resposta

F'(x)=\frac{\operatorname{sec}^2 x}{\tan x}=\frac{1}{\sin x\cos x}=\frac{2}{\sin 2x}.

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