Questão-03. (1,0 ponto/item). Derive a função
Passo 1
O enunciado nos dá a função
definida por
O que se pede: calcular a derivada
(ou seja, derivar a função). Observações iniciais que vêm do enunciado:
- Está escrito
; aqui vou interpretar como o logaritmo natural, isto é, . - A função
é a tangente, que em notação usual é . - Para que
esteja definida como número real é necessário e . Essas restrições de domínio serão comentadas no fim.
Passo 2
Regra que vamos usar primeiro: derivada do logaritmo composto (regra da cadeia aplicada ao logaritmo). Se tivermos uma função
, onde
é uma função diferenciável, vale a fórmula
Explicando devagar: a derivada de
é
sobre o argumento; como o argumento depende de
, multiplicamos pela derivada desse argumento — essa multiplicação pela derivada interna é a parte da regra da cadeia. Aqui
, então aplicaremos essa fórmula com
.
Passo 3
Agora preciso da derivada de
. Lembrando que
. Uso a regra do quociente para derivar:
se , então
se
Aplicando com
e
:
Simplificando o numerador:
portanto
Resumo: a derivada de
é
.
Passo 4
Agora aplico a fórmula do Passo 2 com
e
. Assim
Isto já é uma forma correta da derivada, obtida diretamente pela regra do logaritmo composto.
Passo 5
Faço uma simplificação algébrica para obter formas alternativas mais intuitivas. Parto de
Substituindo
e
:
Outra forma útil usando a identidade
é
Portanto temos equivalências:
Passo 6
Comentário sobre domínio (importante na prova): a expressão original
exige
(para resultados reais) e
(pois
não está definida quando
). A expressão final
é válida em todos os pontos onde
é definida e não nula; para o problema do log real devemos ainda garantir
.