Questão-03. (1,0 ponto/item). Derive a função
Passo 1
O enunciado pede: derivar a função
.
Informações dadas:
Informações dadas:
- A função é
(uso para representar seno). - Objetivo final: encontrar
, a derivada de em função de .
Passo 2
Estratégia inicial (aprender um truque útil): transformar a potência de base fixa em exponencial natural para facilitar a diferenciação. A identidade é
onde
é constante e
é uma função de
. Aplicando com
e
, obtemos
Isto é útil porque a derivada de
é simples:
. Vamos usar isso.
Passo 3
Defino a função interna que aparece no expoente:
Vou calcular
. Note que
é constante, então pode sair da derivada. Assim
Passo 4
Agora calcule a derivada de
usando a regra da cadeia. Lembrete da regra da cadeia: se
então
Aqui
e
. Temos
e
. Portanto
Passo 5
Substituindo na expressão de
:
Passo 6
Volto à derivada de
. Pela regra do exponencial composta,
Substituindo
e
encontrados:
Passo 7
Finalmente, volto à forma com base
usando
. Assim a expressão fica mais direta:
Se preferir, pode escrever multiplicando os fatores em qualquer ordem: