Questão-03. (1,0 ponto/item). Derive a função
h(x)=7^{\operatorname{sen}\left(x^{3}\right)}

Passo 1

O enunciado pede: derivar a função h(x)=7^{\operatorname{sen}\left(x^{3}\right)}.
Informações dadas:
  • A função é h(x)=7^{\sin\!\left(x^{3}\right)} (uso \sin para representar seno).
  • Objetivo final: encontrar h'(x), a derivada de h em função de x.

Passo 2

Estratégia inicial (aprender um truque útil): transformar a potência de base fixa em exponencial natural para facilitar a diferenciação. A identidade é
a^{u}=e^{u\ln a},
onde a>0 é constante e u=u(x) é uma função de x. Aplicando com a=7 e u=\sin\!\left(x^{3}\right), obtemos
h(x)=7^{\sin\!\left(x^{3}\right)}=e^{\sin\!\left(x^{3}\right)\ln 7}.
Isto é útil porque a derivada de e^{g(x)} é simples: \dfrac{d}{dx}e^{g(x)}=e^{g(x)}\cdot g'(x). Vamos usar isso.

Passo 3

Defino a função interna que aparece no expoente:
g(x)=\sin\!\left(x^{3}\right)\ln 7.
Vou calcular g'(x). Note que \ln 7 é constante, então pode sair da derivada. Assim
g'(x)=\ln 7 \cdot \frac{d}{dx}\left[\sin\!\left(x^{3}\right)\right].

Passo 4

Agora calcule a derivada de \sin\!\left(x^{3}\right) usando a regra da cadeia. Lembrete da regra da cadeia: se y=f(g(x)) então
\frac{dy}{dx}=f'\big(g(x)\big)\cdot g'(x).
Aqui f(u)=\sin u e u(x)=x^{3}. Temos f'(u)=\cos u e u'(x)=3x^{2}. Portanto
\frac{d}{dx}\left[\sin\!\left(x^{3}\right)\right]=\cos\!\left(x^{3}\right)\cdot 3x^{2}.

Passo 5

Substituindo na expressão de g'(x):
g'(x)=\ln 7 \cdot \big(\cos\!\left(x^{3}\right)\cdot 3x^{2}\big)=3x^{2}\cos\!\left(x^{3}\right)\ln 7.

Passo 6

Volto à derivada de h(x)=e^{g(x)}. Pela regra do exponencial composta,
h'(x)=e^{g(x)}\cdot g'(x).
Substituindo g(x) e g'(x) encontrados:
h'(x)=e^{\sin\!\left(x^{3}\right)\ln 7}\cdot\big(3x^{2}\cos\!\left(x^{3}\right)\ln 7\big).

Passo 7

Finalmente, volto à forma com base 7 usando e^{\sin(x^{3})\ln 7}=7^{\sin(x^{3})}. Assim a expressão fica mais direta:
h'(x)=7^{\sin\!\left(x^{3}\right)}\cdot 3x^{2}\cos\!\left(x^{3}\right)\ln 7.
Se preferir, pode escrever multiplicando os fatores em qualquer ordem:
h'(x)=3x^{2}\cos\!\left(x^{3}\right)\ln 7\;7^{\sin\!\left(x^{3}\right)}.

Resposta

h'(x)=3x^{2}\cos\!\left(x^{3}\right)\ln 7\;7^{\sin\!\left(x^{3}\right)}

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