Questão 03: (8 pontos) Calcule a área da região delimitada simultaneamente pelas curvas y=|sen x|, y=-x^2+4, x=-pi2 e^x=pi2. Esboce a região.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a área da região limitada pelas curvas ,y=|sin x|, ,y=-x^2+4, e pelas retas verticais ,x=-tfracpi2 e ,x=tfracpi2.
O conteúdo aqui é área entre duas curvas, que se obtém por integral definida da diferença entre a função superior e a função inferior. Também é útil esboçar mentalmente: no intervalo l[-tfracpi2,tfracpi2r] a curva de |sin x| fica abaixo da parábola -x^2+4.

Passo 2

Note que em l[-tfracpi2,tfracpi2r] vale sin x>=0, logo
|sin x|=sin x
Também em cada ponto desse intervalo a parábola -x^2+4 satisfaz
-x^2+4;>=;sin x
(basta verificar nos extremos e lembrar que -x^2+4 é simétrica e atinge máximo em x=0).
Portanto a curva superior é y=-x^2+4 e a inferior é y=sin x.

Passo 3

A área procurada é
A ;=;integral-pi/2^pi/2l[(-x^2+4);-;sin xr],dx
Podemos separar em
integral-pi/2^pi/2(-x^2+4),dx e integral-pi/2^pi/2sin x,dx

Passo 4

Calculemos primeiro
integral-pi/2^pi/2(-x^2+4),dx = [-x^33+4x]-pi/2^pi/2
Como l(tfracpi2r)^3=tfracpi^38 e l(-tfracpi2r)^3=-tfracpi^38, vem
(-pi^324+2pi) - (-pi^324-2pi) = 4pi-pi^312

Passo 5

Agora
integral-pi/2^pi/2sin x,dx = [-cos x]-pi/2^pi/2 = l(-cospi2r);-;l(-cos(-tfracpi2)r) =0,
pois cos(pmtfracpi2)=0.

Passo 6

Subtraindo as integrais, a área fica
A=l(4pi-tfracpi^312r)-0 =4pi-pi^312

Resposta

A área da região é 4pi-tfracpi^312.

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