Questão 03: (8 pontos) Calcule a área da região delimitada simultaneamente pelas curvas
. Esboce a região.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a área da região limitada pelas curvas
,
, e pelas retas verticais
e
.
O conteúdo aqui é área entre duas curvas, que se obtém por integral definida da diferença entre a função superior e a função inferior. Também é útil esboçar mentalmente: no intervalo a curva de
fica abaixo da parábola
.
O conteúdo aqui é área entre duas curvas, que se obtém por integral definida da diferença entre a função superior e a função inferior. Também é útil esboçar mentalmente: no intervalo
Passo 2
Note que em
vale
, logo
Também em cada ponto desse intervalo a parábola
satisfaz
(basta verificar nos extremos e lembrar que
é simétrica e atinge máximo em
).
Portanto a curva superior é e a inferior é
.
Portanto a curva superior é
Passo 3
A área procurada é
Podemos separar em
Passo 4
Calculemos primeiro
Como
e
, vem
Passo 5
Agora
pois
.
Passo 6
Subtraindo as integrais, a área fica
Resposta
A área da região é
.