Encontre a transformada de Fourier da função
y(t)=ll sin (t) & se -pi <= t <= pi 0 & nos demais casos

Passo 1

O enunciado pede a transformada de Fourier
Y(omega)=integral-infty^inftyy(t)e^-iomega t,dt
de
y(t)= sin(t),&-pi<= t<=pi, 0,&caso contrário á
Ou seja, precisamos calcular
Y(omega)=integral-pi^pisin(t),e^-iomega t,dt

Passo 2

Vamos usar a representação de Euler para sin(t):
sin(t)=e^it-e^-it2i
Substituindo na integral, obtemos
Y(omega) =integral-pi^pie^it-e^-it2i,e^-iomega t,dt =12iintegral-pi^pil(e^i(1-omega)t-e^-i(1+omega)tr),dt

Passo 3

Separamos em duas integrais:
I1=integral-pi^pie^i(1-omega)t,dt, I2=integral-pi^pie^-i(1+omega)t,dt,
portanto
Y(omega)=12il(I1 - I2r)

Passo 4

Usamos a fórmula
integral-a^ae^ialpha t,dt =e^ialpha a-e^-ialpha aialpha =2sin(alpha a)alpha
Aqui a=pi. Logo, com alpha1=1-omega e alpha2=-(1+omega), temos
I1=2sinl((1-omega)pir)1-omega, I2=2sinl((1+omega)pir)1+omega

Passo 5

Substituindo em Y(omega):
Y(omega) =12il( 2sinl((1-omega)pir)1-omega -2sinl((1+omega)pir)1+omega r) =1il( sinl((1-omega)pir)1-omega -sinl((1+omega)pir)1+omega r)

Passo 6

Usamos as identidades
sinl((1-omega)pir)=sin(pi-omegapi)=sin(omegapi), sinl((1+omega)pir)=sin(pi+omegapi)=-sin(omegapi)
Assim
sinl((1-omega)pir)1-omega -sinl((1+omega)pir)1+omega =sin(omegapi)1-omega +sin(omegapi)1+omega =sin(omegapi),21-omega^2

Passo 7

Logo
Y(omega) =1i,sin(omegapi),21-omega^2 =-2i,sin(omegapi)1-omega^2 =;2i,sin(omegapi)omega^2-1

Resposta

boxedY(omega)=2i,sin(omegapi)omega^2-1

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