Questão 01. Calcule o que se pede
(1,0 ponto) Calcule, se houver, o limite \lim _{(x, y) \rightarrow (9, y_0)} \frac{x^{4}-y^{4}}{2 x^{2}+2}. Se o limite não existir, justifique sua conclusão.

Passo 1

O enunciado pede que calculemos o limite
\lim_{(x,y)\to(9,y_0)} \frac{x^{4}-y^{4}}{2x^{2}+2}.
Informações dadas:
  • O ponto de chegada é (9,y_0), onde y_0 é um parâmetro qualquer (não especificado).
  • A função a considerar é (x,y)\mapsto \dfrac{x^{4}-y^{4}}{2x^{2}+2}.
    O que se pede: determinar o valor desse limite (ou justificar que ele não existe).

Passo 2

Observação importante sobre o denominador: calculemos o valor de 2x^{2}+2 em x=9.
2\cdot 9^{2}+2.
Primeiro 9^{2}=81. Portanto
2\cdot 81+2=162+2=164.
Como 164\neq 0, o denominador não se anula no ponto em que x tende a 9. Na verdade, para todo x real vale 2x^{2}+2>0. Isso elimina qualquer problema de divisão por zero na vizinhança do ponto.

Passo 3

Relembrando uma propriedade de limites em várias variáveis (regra das operações): se \lim_{(x,y)\to(a,b)} f(x,y)=L e \lim_{(x,y)\to(a,b)} g(x,y)=M com M\neq 0, então
\lim_{(x,y)\to(a,b)} \frac{f(x,y)}{g(x,y)}=\frac{L}{M}.
Polinômios em variáveis separadas (como x^{4} e y^{4}) são contínuos, logo seus limites ao aproximar o ponto são os valores pela substituição direta. Em particular:
\lim_{(x,y)\to(9,y_0)} x^{4}=9^{4},\qquad \lim_{(x,y)\to(9,y_0)} y^{4}=y_0^{4}.

Passo 4

Aplicando a propriedade da diferença e a propriedade da quociente (já que o denominador tende a 164\neq0), temos
\lim_{(x,y)\to(9,y_0)} \frac{x^{4}-y^{4}}{2x^{2}+2} =\frac{\displaystyle\lim_{(x,y)\to(9,y_0)}\bigl(x^{4}-y^{4}\bigr)} {\displaystyle\lim_{(x,y)\to(9,y_0)}\bigl(2x^{2}+2\bigr)}.
Agora calculemos numerador e denominador separadamente:
\lim_{(x,y)\to(9,y_0)}\bigl(x^{4}-y^{4}\bigr)=9^{4}-y_0^{4},
\lim_{(x,y)\to(9,y_0)}\bigl(2x^{2}+2\bigr)=164.

Passo 5

Calculemos 9^{4} de forma explícita para ficar tudo bem claro: 9^{2}=81 e 9^{4}=(9^{2})^{2}=81^{2}=6561. Assim o limite fica
\frac{9^{4}-y_0^{4}}{164}=\frac{6561-y_0^{4}}{164}.

Passo 6

Conclusão e interpretação didática: como o denominador não se anula no ponto e numerador e denominador são funções contínuas nas vizinhanças consideradas, o limite existe e é dado pela substituição direta dos pontos, resultando em \dfrac{6561-y_0^{4}}{164}. Isso significa que o limite depende do parâmetro y_0; para cada valor de y_0 o limite assume o valor acima.

Resposta

\dfrac{6561-y_0^{4}}{164}

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