Questão 01. Calcule o que se pede
(1,0 ponto) Calcule, se houver, o limite
. Se o limite não existir, justifique sua conclusão.
(1,0 ponto) Calcule, se houver, o limite
Passo 1
O enunciado pede que calculemos o limite
Informações dadas:
- O ponto de chegada é
, onde é um parâmetro qualquer (não especificado). - A função a considerar é
.
O que se pede: determinar o valor desse limite (ou justificar que ele não existe).
Passo 2
Observação importante sobre o denominador: calculemos o valor de
em
.
Primeiro
. Portanto
Como
, o denominador não se anula no ponto em que
tende a
. Na verdade, para todo
real vale
. Isso elimina qualquer problema de divisão por zero na vizinhança do ponto.
Passo 3
Relembrando uma propriedade de limites em várias variáveis (regra das operações): se
e
com
, então
Polinômios em variáveis separadas (como
e
) são contínuos, logo seus limites ao aproximar o ponto são os valores pela substituição direta. Em particular:
Passo 4
Aplicando a propriedade da diferença e a propriedade da quociente (já que o denominador tende a
), temos
Agora calculemos numerador e denominador separadamente:
Passo 5
Calculemos
de forma explícita para ficar tudo bem claro:
e
. Assim o limite fica
Passo 6
Conclusão e interpretação didática: como o denominador não se anula no ponto e numerador e denominador são funções contínuas nas vizinhanças consideradas, o limite existe e é dado pela substituição direta dos pontos, resultando em
. Isso significa que o limite depende do parâmetro
; para cada valor de
o limite assume o valor acima.