Para cada curva gamma a seguir, calcule gamma^prime(t) e d yd x.
gamma(t)=(t-ln (t), t^2-t^-2)

Passo 1

O enunciado nos dá a curva paramétrica
gamma(t)=l(x(t),y(t)r)=l(t-ln(t),,t^2-t^-2r)
e pede:
  1. O vetor derivada gamma'(t)=(x'(t),y'(t)).
  2. A derivada implícita dfracdydx, que em parametrização é dfracdy/dtdx/dt.

Passo 2

Calculamos as derivadas de x(t) e y(t) em relação a t:
Para
x(t)=t-ln(t)
temos
x'(t)=ddtl(tr)-ddtl(ln(t)r) =1-1t
Para
y(t)=t^2-t^-2
temos
y'(t)=ddtl(t^2r)-ddtl(t^-2r) =2t -(-2),t^-3 =2t+2t^-3
Logo,
gamma'(t)=l(x'(t),y'(t)r)=l(1-1t,,2t+2t^-3r)

Passo 3

Agora usamos
dydx=dfracdydtdfracdxdt =2t+2t^-31-tfrac1t
Para simplificar, note que 1-tfrac1t=(t-1)/t. Então
dydx =l(2t+2t^-3r),t,t-1, =2t^2+2t^-2,t-1, =2l(t^2+tfrac1t^2r),t-1, =2,(t^4+1),t^2(t-1),

Resposta

gamma'(t)=l(1-1t,,2t+2t^-3r)
dydx=2t+2t^-31-tfrac1t =2,(t^4+1)t^2(t-1)

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