(UF-PA) O vértice da parábola y=a x^{2}+b x+c é o ponto ( -2,3 ). Sabendo que 5 é a ordenada onde a curva corta o eixo vertical, podemos afirmar que
a) a >1, b <1 e c <4
b) a >2, b >3 e c >4
c) a <1, \mathrm{~b}<1 e c >4
d) a <1, b >1 e c >4
e) a <1, b <1 e c <4

Passo 1

O enunciado nos dá as seguintes informações (vou listar tudo explicitamente):
  • A parábola é y = a x^{2} + b x + c.
  • O vértice da parábola é o ponto (-2,3). Ou seja, a coordenada do vértice é x_v = -2 e y_v = 3.
  • A ordenada onde a curva corta o eixo vertical (interseção com o eixo y) é 5. Isso significa que ao fazer x=0 temos y=c=5.
    O que o enunciado pede é identificar qual das alternativas (a), (b), (c), (d) ou (e) está correta, ou seja, determinar relações entre a, b e c e comparar com as opções.

Passo 2

Vamos entender a relação entre o vértice e os coeficientes a e b. Para uma parábola y = a x^{2} + b x + c, a abscissa do vértice x_v é dada pela fórmula
x_v = -\frac{b}{2a}.
Breve explicação dessa fórmula (didática): podemos obter essa fórmula completando o quadrado ou derivando. Completando o quadrado escrevemos
y = a\!\left(x^{2}+\frac{b}{a}x\right)+c = a\!\left(x+\frac{b}{2a}\right)^{2} - a\!\left(\frac{b}{2a}\right)^{2} + c,
daí o quadrado mínimo ocorre em x = -\dfrac{b}{2a}, que é precisamente a abscissa do vértice. Portanto podemos usar \,x_v = -\dfrac{b}{2a}\,.

Passo 3

Usando a abscissa do vértice dada \,x_v = -2, substituímos na fórmula \,x_v = -\dfrac{b}{2a}\,:
-2 = -\frac{b}{2a}.
Multiplicando ambos os lados por -1 e isolando b obtemos
2 = \frac{b}{2a}\quad\Rightarrow\quad b = 4a.
Portanto há uma relação linear simples entre b e a: b = 4a.

Passo 4

Agora usamos a ordenada do vértice y_v=3. Podemos calcular y_v avaliando a função em x=-2:
y_v = f(-2) = a(-2)^{2} + b(-2) + c = 4a - 2b + c.
Sabemos que y_v = 3 e também que c=5 (pela interseção com o eixo y). Substituindo b=4a e c=5 na expressão:
3 = 4a - 2(4a) + 5.
Agora faço a álgebra passo a passo:
4a - 2(4a) = 4a - 8a = -4a,
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3 = -4a + 5.
Isolando a:
-4a = 3 - 5 = -2 \quad\Rightarrow\quad a = \frac{-2}{-4} = \frac{1}{2}.
Assim a = \dfrac{1}{2} = 0{,}5.

Passo 5

Com a = \dfrac{1}{2} e a relação b = 4a e c=5 temos:
b = 4\cdot\frac{1}{2} = 2, \qquad c = 5.
Agora compare as desigualdades pedidas nas alternativas com os valores encontrados:
  • a = \dfrac{1}{2} é menor que 1, então a<1 é verdadeiro.
  • b = 2 é maior que 1, então b>1 é verdadeiro.
  • c = 5 é maior que 4, então c>4 é verdadeiro.
    Portanto as relações corretas são a<1, b>1 e c>4.

Resposta

d)

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