(UF-PA)
vértice da parábola
é o ponto (
). Sabendo que 5 é a ordenada onde a curva corta o eixo vertical, podemos afirmar que
a) a
, b
e c
b) a
, b
e c
c) a
e c
d) a
, b
e c
e) a
, b
e c
a) a
b) a
c) a
d) a
e) a
Passo 1
O enunciado nos dá as seguintes informações (vou listar tudo explicitamente):
- A parábola é
. - O vértice da parábola é o ponto
. Ou seja, a coordenada do vértice é e . - A ordenada onde a curva corta o eixo vertical (interseção com o eixo
) é . Isso significa que ao fazer temos .
O que o enunciado pede é identificar qual das alternativas (a), (b), (c), (d) ou (e) está correta, ou seja, determinar relações entre, e e comparar com as opções.
Passo 2
Vamos entender a relação entre o vértice e os coeficientes
e
. Para uma parábola
, a abscissa do vértice
é dada pela fórmula
Breve explicação dessa fórmula (didática): podemos obter essa fórmula completando o quadrado ou derivando. Completando o quadrado escrevemos
daí o quadrado mínimo ocorre em
, que é precisamente a abscissa do vértice. Portanto podemos usar
.
Passo 3
Usando a abscissa do vértice dada
, substituímos na fórmula
:
Multiplicando ambos os lados por
e isolando
obtemos
Portanto há uma relação linear simples entre
e
:
.
Passo 4
Agora usamos a ordenada do vértice
. Podemos calcular
avaliando a função em
:
Sabemos que
e também que
(pela interseção com o eixo
). Substituindo
e
na expressão:
Agora faço a álgebra passo a passo:
logo
Isolando
:
Assim
.
Passo 5
Com
e a relação
e
temos:
Agora compare as desigualdades pedidas nas alternativas com os valores encontrados:
-
é menor que , então é verdadeiro. -
é maior que , então é verdadeiro. -
é maior que , então é verdadeiro.
Portanto as relações corretas são, e .
Resposta
d)