(Questão 03) (2 pontos) Para quais valores positivos de x você pode substituir \ln (1+x) por x com um erro que não ultrapasse 1 \% do valor de x ? (sua argumentação deve fazer uso do teorema de Taylor).
\qquad

Passo 1

O enunciado pede para aproximar \ln(1+x) por x de modo que o erro não ultrapasse 1\% do valor de x, isto é,
|\ln(1+x)-x|\le0,01\,x,
para x>0. Vamos usar o Teorema de Taylor com resto na forma de Lagrange para a função f(x)=\ln(1+x) em torno de 0.

Passo 2

A expansão de Taylor de ordem 1 de f(x)=\ln(1+x) em 0 é
\ln(1+x)=x + R_1(x),
onde o resto de Lagrange vem de
R_1(x)=\frac{f''(\xi)}{2}\,x^2 \quad\text{com algum }\xi\in(0,x).
Como
f''(t)=\frac{\mathrm d^2}{\mathrm d t^2}\ln(1+t)=-\frac{1}{(1+t)^2},
segue que
|R_1(x)|=\left|\frac{-1}{2(1+\xi)^2}\,x^2\right|=\frac{x^2}{2(1+\xi)^2}.

Passo 3

Para obter um limite simples, usamos (1+\xi)^2\ge1, logo
|R_1(x)|\le\frac{x^2}{2}.
Portanto
|\ln(1+x)-x|\le\frac{x^2}{2}.

Passo 4

Impondo a condição de erro
\frac{x^2}{2}\le0,01\,x
e dividindo por x>0, obtemos
\frac{x}{2}\le0,01 \quad\Longrightarrow\quad x\le0,02.

Resposta

Para todo x positivo com
0<x\le0,02,
a aproximação \ln(1+x)\approx x tem erro absoluto menor que 1\% de x.

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